sigma-Endlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mi 22.08.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Mal eine ganz elementare Frage:
Sind Wahrscheinlichkeitsmaße immer [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Maße? |
Sei $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren Raum [mm] $(\Omega,\mathcal{F})$.
[/mm]
Ist P dann [mm] $\sigma$-endlich?
[/mm]
Ich würde sagen: JA!
Denn man hat ja
[mm] $\Omega=\emptyset\cup\Omega$ [/mm] mit [mm] $\emptyset,\Omega\in\mathcal{F}$, $\emptyset\subset\Omega$ [/mm] und [mm] $P(\emptyset)=0<\infty$ [/mm] und [mm] $P(\Omega)=1<\infty$.
[/mm]
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Hallo mikexx,
> Mal eine ganz elementare Frage:
>
> Sind Wahrscheinlichkeitsmaße immer [mm]\sigma[/mm]-endliche Maße?
Ja!
>
> Sei [mm]P[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren Raum
> [mm](\Omega,\mathcal{F})[/mm].
>
> Ist P dann [mm]\sigma[/mm]-endlich?
>
> Ich würde sagen: JA!
>
> Denn man hat ja
>
> [mm]\Omega=\emptyset\cup\Omega[/mm] mit
> [mm]\emptyset,\Omega\in\mathcal{F}[/mm], [mm]\emptyset\subset\Omega[/mm] und
> [mm]P(\emptyset)=0<\infty[/mm] und [mm]P(\Omega)=1<\infty[/mm].
Genauso ist es!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 22.08.2012 | | Autor: | mikexx |
Also müsste man doch auf P den Satz von Radon-Nikodym anwenden können, denn natürlich gilt [mm] $P\ll [/mm] P$ und P ist [mm] $\sigma$-endlich.
[/mm]
Das heißt, es ex. eine nicht-negative Funktion $f$ so, daß
[mm] $P(F)=\int_F f(t)\, P(dt)~\forall~F\in\mathcal{F}$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 22.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also müsste man doch auf P den Satz von Radon-Nikodym
> anwenden können, denn natürlich gilt [mm]P\ll P[/mm] und P ist
> [mm]\sigma[/mm]-endlich.
>
>
> Das heißt, es ex. eine nicht-negative Funktion [mm]f[/mm] so, daß
>
> [mm]P(F)=\int_F f(t)\, P(dt)~\forall~F\in\mathcal{F}[/mm] ?
Genau. Eine solche Funktion, fuer die das gilt, ist $f(t) = 1$. (Auf Nullmengen von $F$ kannst du die Werte auch anders waehlen.)
LG Felix
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