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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengensysteme sind Ringe, Algebren, sigma-Ringe, sigma-Algebren, monotone Systeme? (X [mm] \not= \emptyset)
[/mm]
a) M := {A [mm] \subseteq [/mm] X ; A endlich}
b) M := {A [mm] \subseteq [/mm] X; A oder [mm] X\A [/mm] endlich}
c) M := {A [mm] \subseteq [/mm] X; A endlich oder abzählbar}
d) M := {A [mm] \subseteq [/mm] X; A oder [mm] X\A [/mm] endlich oder abzählbar} |
Hi Leutz!
Beim Überprüfen der Eigenschaften hab ich so meine Probleme mit der sigma-Eigenschaft und dem monotonen System.
In beiden Fällen arbeite ich mit Folgen [mm] (A_{n})_{n \in \IN} [/mm] - wobei ich bei der sigma-Eigenschaft die Vereinigung überprüfe und beim monotonen System die Vereinigung der ineinander geschachtelten Mengen und den Durchschnitt der ineinander geschachtelten Mengen überprüfe.
Ich hab nur keine Idee, ob jetzt zB die Vereinigung von abzählbaren oder endlichen Mengen wieder abzählbar oder endlich ist.
Was ist da genau mein Kriterium? Wie kann ich mir das vorstellen?
Thx & lg
sonnenblumale
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Hallo sonnenblumale!
> Welche der folgenden Mengensysteme sind Ringe, Algebren,
> sigma-Ringe, sigma-Algebren, monotone Systeme? (X [mm]\not= \emptyset)[/mm]
Was Sigma-Ringe und monotone Systeme sind, weiß ich leider nicht, kannst Du mal die Definition davon posten?
> a) M := {A [mm]\subseteq[/mm] X ; A endlich}
> b) M := {A [mm]\subseteq[/mm] X; A oder [mm]X\A[/mm] endlich}
Für das Mengenminus muss man in LaTeX \setminus schreiben, sonst wird das folgende Zeichen verschluckt:
b) $M := [mm] \{A \subseteq X; A \mbox{ oder } X\setminus A \mbox{ endlich}\}$
[/mm]
> c) M := {A [mm]\subseteq[/mm] X; A endlich oder abzählbar}
> d) M := {A [mm]\subseteq[/mm] X; A oder [mm]X\A[/mm] endlich oder abzählbar}
> Hi Leutz!
>
> Beim Überprüfen der Eigenschaften hab ich so meine Probleme
> mit der sigma-Eigenschaft und dem monotonen System.
>
> In beiden Fällen arbeite ich mit Folgen [mm](A_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> - wobei ich bei der sigma-Eigenschaft die Vereinigung
> überprüfe und beim monotonen System die Vereinigung der
> ineinander geschachtelten Mengen und den Durchschnitt der
> ineinander geschachtelten Mengen überprüfe.
>
> Ich hab nur keine Idee, ob jetzt zB die Vereinigung von
> abzählbaren oder endlichen Mengen wieder abzählbar oder
> endlich ist.
Ein Mengensystem, das  Ring genannt werden will, muss ja drei Eigenschaften erfüllen (siehe Link), ich mache das mal bei a) vor:
1. Die leere Menge ist endlich [mm] $\Rightarrow\ \emptyset\in [/mm] M$
2. Die Mengendifferenz [mm] $A\setminus [/mm] B$ ist auch wieder endlich, wenn A,B endlich ist, denn [mm] $A\setminus B\subseteq [/mm] A$
3. Die (endliche!) Vereinigung zweier endlicher Mengen ist auch wieder eine endliche Menge
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] M ist ein Ring
M ist aber nur dann eine Sigma-Algebra, wenn X ebenfalls endlich ist, sonst wäre direkt [mm] $X\not\in [/mm] M$. Falls X also endlich ist, sind alle drei Eigenschaften erfüllt:
1. [mm] $X\in [/mm] M$
2. [mm] $A\in [/mm] M\ [mm] \Rightarrow\ X\setminus A\in [/mm] M$ (denn [mm] $X\setminus A\subseteq [/mm] X$)
3. Und auch die abzählbare Vereinigung von Mengen aus M ist wieder in M, denn [mm] $\Bigcup A_n\subset [/mm] X$.
M ist auch nur dann eine Algebra, wenn X endlich ist.
Interessanter ist natürlich das Mengensystem aus b), mal sehen, ob ich das auch hinkriege:
M Ring?
1. [mm] $\emptyset$ [/mm] ist endlich, [mm] $\Rightarrow$ $\emptyset\in [/mm] M$
2. Fall 1. A endlich [mm] $\Rightarrow\ A\supseteq A\setminus [/mm] B$ ist endlich [mm] $\Rightarrow\ A\setminus B\in [/mm] M$
Fall 2. [mm] $X\setminus [/mm] A$ endlich [mm] $\Rightarrow$ $X\setminus (A\setminus [/mm] B)$ ist endlich da [mm] $X\setminus (A\setminus B)\subseteq X\setminus (A\setminus [/mm] B)$
3. Fall 1. A, B endlich [mm] $\Rightarrow\ A\cup [/mm] B$ endlich
Fall 2. [mm] $X\setminus [/mm] A$ endlich [mm] $\Rightarrow\ X\setminus (A\cup [/mm] B)$ endlich, da [mm] $X\setminus (A\cup B)\subseteq X\setminus [/mm] A$
Fall 3. [mm] $X\setminus [/mm] B$ endlich folgt aus Symmetriegründen aus 2.
[mm] $\Rightarrow\ A\cup B\in [/mm] M$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] M$ Ring.
> Was ist da genau mein Kriterium? Wie kann ich mir das
> vorstellen?
Ich hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden, alles weitere dann auf Nachfrage.
Grüße, Frusciante
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