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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:14 Do 13.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
| Aufgabe | [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Mengensystem auf X mit den Eigenschaften
1. X [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
2. A [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{A}^{c} \in \mathcal{A}
[/mm]
3. A, B [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow [/mm] A - B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Zu zeigen: [mm] \mathcal{A} [/mm] ist eine algebra |
Die ersten zwei Punkte, die man für eine algebra zeigen muss, gehen ja schon aus der Definition hervor.
Bleibt also zu zeigen, dass [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \in \mathcal{A}
[/mm]
3. ist identisch mit A [mm] \cap B^{c} \in \mathcal{A}.
[/mm]
Meiner Meinung nach müsste man jetzt die Vereinigung irgendwie so zerlegen, dass man sowas wie im dritten Punkt bekommt und das somit dann zeigen kann. Wer kann mir da helfen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Mengensystem auf X mit den Eigenschaften
> 1. X [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> 2. A [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{A}^{c} \in \mathcal{A}[/mm]
>
> 3. A, B [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow[/mm] A - B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\mathcal{A}[/mm] ist eine algebra
> Die ersten zwei Punkte, die man für eine algebra zeigen
> muss, gehen ja schon aus der Definition hervor.
>
> Bleibt also zu zeigen, dass [mm]\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \in \mathcal{A}[/mm]
>
> 3. ist identisch mit A [mm]\cap B^{c} \in \mathcal{A}.[/mm]
>
> Meiner Meinung nach müsste man jetzt die Vereinigung
> irgendwie so zerlegen, dass man sowas wie im dritten Punkt
> bekommt und das somit dann zeigen kann. Wer kann mir da
> helfen?
Hallo,
ich würde es erstmal für zwei Mengen A und B zeigen. Dann weißt Du wie es geht und kannst anschließend einen Induktionsbeweis machen.
Seien A,B [mm] \in \mathcal{A}.
[/mm]
Wegen (2) ist auch [mm] A^c\in \mathcal{A},
[/mm]
und wegen (3) gilt [mm] A^c [/mm] \ B [mm] \in \mathcal{A}.
[/mm]
Es ist aber [mm] A^c [/mm] \ B=... (als Schnitt schreiben)=...(de Morgan verwenden)
Ich hoffe, daß Du so weiterkommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 13.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Hallo,
danke für die Hilfe.
> ich würde es erstmal für zwei Mengen A und B zeigen. Dann
> weißt Du wie es geht und kannst anschließend einen
> Induktionsbeweis machen.
Ok, das hab ich gemacht.
> Es ist aber [mm]A^c[/mm] \ B=... (als Schnitt schreiben)=...(de
> Morgan verwenden)
[mm] A^c [/mm] \ B= [mm] A^c \cap [/mm] B = (A [mm] \cup B)^c
[/mm]
d.h. da [mm] A^c \cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ist auch (A [mm] \cup B)^c [/mm] in [mm] \mathcal{A} [/mm] und somit auch das Kompliment A [mm] \cup [/mm] B. Hiermit hätten wir das für zwei Elemente gezeigt.
Ich bekomme aber nicht den Schritt von zwei zu n Elementen hin. Habe da garkeinen Ansatz.
Bin für weitere Hilfe dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Do 13.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> > Es ist aber [mm]A^c[/mm] \ B=... (als Schnitt schreiben)=...(de
> > Morgan verwenden)
>
> [mm]A^c[/mm] \ B= [mm]A^c \cap[/mm] B = (A [mm]\cup B)^c[/mm]
Nicht ganz. [mm] A^{c}\backslash B=A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c}\in\mathcal{A}\Rightarrow (A\cup B)\in\mathcal{A}.
[/mm]
> Ich bekomme aber nicht den Schritt von zwei zu n Elementen
> hin. Habe da garkeinen Ansatz.
Also für n=2 hat man bewiesen, dass es gilt. Gelte [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=:B\in\mathcal{A}. [/mm] Zu beweisen ist:
[mm] \bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}=B\cup A_{n+1}\in\mathcal{A}, [/mm] was einem bekannt vorkommt.
Gruß,
dormant
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