sensible anfangsbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AnGo |
| Aufgabe | | Was bedeutet es anschaulich, wenn die Lösung einer Differentialgleichung sensibel bzgl. der Anfangs- oder/und Randbedingungen ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
ich habe allgemein rausgefunden,
dass kleine Differenzen z.B. in der Anfangsbedingung von chaotischen oder anderen systemen mit der Zeit anwachsen und um das Systemverhalten für eine bestimmte zeit berechnen zu können müssen diese Bedingungen möglichst präzise sein. Wenn dies nicht möglich ist, ist das System schwer zu berechnen.
Aber ich habe keine Idee wie sich das ganze anschaulich auswirkt!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Aus Erfahrung: wenn man etwa Billard spielt, kann man nach dem 5ten Stoss nichts mehr vorhersagen. Einfach weil der Queu ja als Ende keinen exakten Punkt hat, und weil man nicht genau in einer richtung, also etwa in [mm] 0.000^0 [/mm] stossen kann.
Bei noch sensibleren Dgl, kann man schon physikalisch die Anfangsbed. nicht mehr so genau angeben, dass eine Vorhersage in einiger Zeit moeglich ist.
Je staerker etwa eine Schwingung gedaempft ist, desto besser die Vorhersage fuer die Zukunft. Bei einem Pendel mit antreibender aeusserer Kraft dagegen, haengt der Zustand zu t=20*T schon stark von den Anfangsbed. ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AnGo |
Danke für die erklärung., ich hatte die Frage allerdings so verstanden, dass dann irgendetwas mit dem graphen der die Differentialgleichung beschreibt passiert, also vielleicht ob da allgemein sich der graph auf eine bestimmte weise verschiebt!?
Aber vielleicht ist ja deine antwort genau die richtige!??
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles was physikalisch passiert, kann man natuerlich auch in ner Graphik sehen, aber nicht so einfach wie ne Verschiebung.
ich schick ein bild mit dem Isoklinenfeld der Dgl
x'=x*(1-x/2) (logistische Dgl) da kannst du sehen, dass an einigen Stellen bei nur leicht geaenderten Anfangsbed. du voellig andere Loesungen kriegst.
etwa f(2)=0, f(2)=-0.001 f(2)=+0.0001
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Bild hergestellt mit 3D-XploreMath)
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Deine Frage ist nicht sehr präzise, und leduart hat ein Beispiel aus der Physik gegeben.
Ich will mal ein weiteres Beispiel aus der Mathematik geben, wo eine kleine Differenz im Ausgangswert eine völlig anderes Endresultat liefert:
Es sei
[mm] \bruch{(x_{0})^{2}}{1} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{(x_{1})^{2}}{2} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{(x_{2})^{2}}{3} [/mm] = [mm] x_{3}
[/mm]
[mm] \bruch{(x_{3})^{2}}{4} [/mm] = [mm] x_{4}
[/mm]
[mm] \bruch{(x_{4})^{2}}{5} [/mm] = [mm] x_{5}
[/mm]
und so weiter....
Eine klitzekleine Differenz (in der 5. Stelle nach dem Komma) im Ausgangswert [mm] x_{0} [/mm] entscheidet, ob das Resultat (etwa bei [mm] x_{20}) [/mm] gegen NULL oder gegen UNENDLICH stebt
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