seltsames 4'er-Gleichungssyste < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Sa 31.05.2008 | | Autor: | vonjd |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben sei folgendes Gleichungssystem
(1) A=-D
(2) [mm] A^2=1-B*C
[/mm]
(3) B/D=-v
(4) [mm] \bruch{B-c*A}{D-c*C}=c
[/mm]
Hintergrund ist die Aufstellung von Matrizengleichungen bei der Lorentztransformation, aber das tut eigentlich nichts zur Sache.
(Quelle: Wendt: Was Sokrates nicht wissen konnte, S. 247ff.)
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Die Lösung soll sein:
[mm] k=\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{v}{c})^2}}
[/mm]
A=-k
B=-vk
[mm] C=\bruch{v}{c}*\bruch{1}{c}*k
[/mm]
D=k
Ich kriege es jedoch selber absolut nicht hin... Ich lande immer wieder in Sackgassen, die ich nicht lösen kann.
Vom ersten Ansatz ist es natürlich simpel z.B. durch die Verwendung von (1) ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten zu machen. Aber danach wird es immer schwieriger...
Das Seltsamte ist jedoch, dass Mathematica 6.0 und Maxima 0.75 bei der Auflösung zu völlig anderen (auch untereinander) Ergebnissen kommen. Mathematica will sogar alles mit i lösen und bei der "vereinfachten" Dreier-Variante sagt Maxima sogar, dass es zu überhaupt keiner Lösung mehr kommt. Nach einer weiteren leichten Umformung kommt wieder eine andere Lösung heraus, die selbst mit der Lösung der Vierer-Variante nicht mehr vollständig korrespondiert.
Ich bin ziemlich verzweifelt und auch geschockt, dass selbst solch scheinbar einfach gestrickten Systeme offenbar nur schwer lösbar sind und man sich offenbar null auf CAS verlassen kann :-(((
Was hat es wohl mit diesem System auf sich? Kann mir jemand einen Hinweis geben, was hier faul ist und wo auf einmal die Komplexität herkommt, die zu diesem seltsamen Verhalten zu führen scheint?
Vielen, vielen Dank!
Holger
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Um solch ein Gleichungssystem zu lösen, ist es gut, wenn man eine Art "Beziehungskette" zwischen den gesuchten Variablen aufbauen kann. Das heißt, ich kann jede Variable durch jede andere ausdrücken. Dies kann man mit n-1 von n gegebenen Gleichungen hinbekommen, und die n-te, also letzte löst dann das System auf.
Ich zeig dir mal meine Beziehungskette:
Direkt aus (1) folgt:
[mm]A = -D[/mm]
Aus (3) folgt:
[mm]D = -\bruch{B}{v}[/mm]
Insgesamt kann man also schon schreiben:
[mm]A = -D = \bruch{B}{v}[/mm]
Nun nehme ich mir als nächstes die (4) vor, um die Beziehungskette zu vervollständigen, denn Quadrate wie in (2) eignen sich immer schlecht dazu: Dadurch entstehen z.T. schon Doppellösungen, weil ja eine Wurzel keine Äquivalenzumformung ist. Ich forme als (4) nach C um, dann entsteht:
[mm]C = \bruch{B - c*A - c*D}{-c^{2}} = \bruch{B - c*(A + D)}{-c^{2}}[/mm]
Nun können wir schon unsere Beziehung A = -D anwenden und erhalten:
[mm]C = -\bruch{B}{c^{2}}[/mm].
Unsere vollständige Kette ist nun also:
[mm]A = -D = \bruch{B}{v} = -\bruch{c^{2}}{v}*C[/mm]
Diese kann uns nun helfen, die letzte ausstehende Gleichung (2) nach einer gesuchten Variablen umzustellen; ist uns das gelungen können wir mit Hilfe der Beziehungskette auch alle anderen Variablen ausrechnen.
Das bekommst du selbst hin!  Ich empfehle, nach A umzustellen.
Zu den Programmen:
Das Problem verursachen glaub ich im Wesentlichen die Gleichung (2) und (4). Mathematische Programme sollen möglichst exakte Lösungen liefern. Viele der Umformungen schränken aber mögliche Definitions-Bereiche, die die Variablen annehmen können, ein. Außerdem gibt es keinen festgeschriebenen Lösungsalgorithmus für solche Gleichungssysteme, was es noch schwerer macht. Ich glaube, dass allgemein "nicht-lineare" Gleichungssysteme mit Programmen zu lösen nur ein Glücksfall ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Sa 31.05.2008 | | Autor: | vonjd |
Hallo Stefan,
das ist ja Wahnsinn, dass du innerhalb so kurzer Zeit eine solch klasse Antwort postest! Vielen Dank, das hilft sehr weiter!!!
Was ich mich nur frage, wieso die ganzen CAS so grandios versagen - das hätte ich bei solch einer Aufgabenstellung echt nicht erwartet (immerhin reden wir hier ja nicht von komplizierten partiellen DGLs...)
Also, danke nochmal!
Holger
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Sa 31.05.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gegeben sei folgendes Gleichungssystem
> (1) A=-D
> (2) [mm]A^2=1-B*C[/mm]
> (3) B/D=-v
> (4) [mm]\bruch{B-c*A}{D-c*C}=c[/mm]
>
> Hintergrund ist die Aufstellung von Matrizengleichungen bei
> der Lorentztransformation, aber das tut eigentlich nichts
> zur Sache.
>
> (Quelle: Wendt: Was Sokrates nicht wissen konnte, S.
> 247ff.)
>
>
> Die Lösung soll sein:
>
> [mm]k=\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{v}{c})^2}}[/mm]
>
> A=-k
> B=-vk
> [mm]C=\bruch{v}{c}*\bruch{1}{c}*k[/mm]
> D=k
>
> Ich kriege es jedoch selber absolut nicht hin... Ich lande
> immer wieder in Sackgassen, die ich nicht lösen kann.
>
> Vom ersten Ansatz ist es natürlich simpel z.B. durch die
> Verwendung von (1) ein System mit drei Gleichungen und drei
> Unbekannten zu machen. Aber danach wird es immer
> schwieriger...
>
> Das Seltsamte ist jedoch, dass Mathematica 6.0 und Maxima
> 0.75 bei der Auflösung zu völlig anderen (auch
> untereinander) Ergebnissen kommen. Mathematica will sogar
> alles mit i lösen und bei der "vereinfachten"
> Dreier-Variante sagt Maxima sogar, dass es zu überhaupt
> keiner Lösung mehr kommt. Nach einer weiteren leichten
> Umformung kommt wieder eine andere Lösung heraus, die
> selbst mit der Lösung der Vierer-Variante nicht mehr
> vollständig korrespondiert.
>
> Ich bin ziemlich verzweifelt und auch geschockt, dass
> selbst solch scheinbar einfach gestrickten Systeme offenbar
> nur schwer lösbar sind und man sich offenbar null auf CAS
> verlassen kann :-(((
>
> Was hat es wohl mit diesem System auf sich? Kann mir jemand
> einen Hinweis geben, was hier faul ist und wo auf einmal
> die Komplexität herkommt, die zu diesem seltsamen Verhalten
> zu führen scheint?
>
> Vielen, vielen Dank!
> Holger
[mm](1)\to (4) \to (5) \quad{ } B=-c^2\cdot C[/mm]
[mm](5)\to (2) \to (6) \quad{ } A^2=1+c^2\cdot C[/mm]
[mm](1)(6)\to (3) \to (7) \quad{ } C=-\frac{v}{c^2}A[/mm]
[mm](7) \to (6) A^2=1-A^2\frac{v^2}{c^2}\to A=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{v}{c})^2}}=-k[/mm]
der rest ist einsetzen
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