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hallo ihr. Wie überprüfe ich, ob eine Abbildung selbstadjungiert ist. . Nach Script ist eine Abb. selbstadjungiert, wenn gilt: <f(v),w> =<v,f(w)>, aber wie überprüfe ich das bei konkreter Abbidung?
f : [mm] R^3 [/mm] -> [mm] R^3, [/mm] (a, b, c) -> (a - 2c, 0,-2a + 4c) .
[mm] f(1,0,0)^t)= (1,0,-2)^t
[/mm]
[mm] f(0,1,0)^t)= (0,0,0)^t
[/mm]
[mm] f(0,0,1)^t)= (-2,0,4)^t
[/mm]
kann man das dann so nachprüfen:
[mm] <(1,0,-2)^t, (0,1,0)^t> [/mm] = 0 = [mm] <(1,0,0)^t, (0,0,0,)^t [/mm] >
[mm] <(0,0,0)^t [/mm] , [mm] (0,0,1)^t> =0=<(0,1,0)^t, (-2,0.4)^t> [/mm]
[mm] <(-2,0,4)^t,(1,0,0)^t> [/mm] = -2 = [mm] <(0,0,1)^t, (1,0,-2)^t>
[/mm]
Die darstellungsmatrix einer selbstadjungierten abb ist symmetrisch richtig?
Lg Sandra und einen schönen Sonntag
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Hallo Sandra,
> hallo ihr. Wie überprüfe ich, ob eine Abbildung
> selbstadjungiert ist. . Nach Script ist eine Abb.
> selbstadjungiert, wenn gilt: <f(v),w> =<v,f(w)> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber wie
> überprüfe ich das bei konkreter Abbidung?
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> f : [mm]R^3[/mm] -> [mm]R^3,[/mm] (a, b, c) -> (a - 2c, 0,-2a + 4c) .
>
> [mm]f(1,0,0)^t)= (1,0,-2)^t[/mm]
> [mm]f(0,1,0)^t)= (0,0,0)^t[/mm]
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> [mm]f(0,0,1)^t)= (-2,0,4)^t[/mm]![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> kann man das dann so nachprüfen:
> [mm]<(1,0,-2)^t, (0,1,0)^t>[/mm] = 0 = [mm]<(1,0,0)^t, (0,0,0,)^t[/mm] >
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> [mm]<(0,0,0)^t[/mm] , [mm](0,0,1)^t> =0=<(0,1,0)^t, (-2,0.4)^t>[/mm]
> [mm]<(-2,0,4)^t,(1,0,0)^t>[/mm] = -2 = [mm]<(0,0,1)^t, (1,0,-2)^t>[/mm]
Hmm , das muss ja für alle Vektoren v,w gelten...
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> Die darstellungsmatrix einer selbstadjungierten abb ist
> symmetrisch richtig?
Jein, der Satz lautet:
Sei [mm] $\IB$ [/mm] eine ONB eines (euklidischen) VR V , [mm] $\phi:V\to V\in [/mm] End(V)$ und [mm] $M_{\IB}(\phi)$ [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] bzgl. [mm] $\IB$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $\phi$ [/mm] selbstadjungiert [mm] \gdw $M_{\IB}(\phi)$ [/mm] ist symmetrisch
Deine Basis ist ja offensichtlich eine ONB.
Ihre Bilder hast du ja auch ganz richtig berechnet.
Wenn du daraus dann mal die Abbildungsmatrix aufstellst,
so ist diese symmetrisch, also sagt dir der Satz, dass
deine Abbildung selbstadj. ist.
Du warst also fast schon fertig 
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> Lg Sandra und einen schönen Sonntag
LG
schachuzipus
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