selbstadjungiert --> det reell < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 27.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei A eine Matrix mit komplexen Einträgen. Zeige die folgende Implikation;
A ist selbstadjungiert [mm] \Rightarrow [/mm] det(A) [mm] \in \IR. [/mm] |
Ich weiß, was selbstadjunigert bedeutet, nämlich, dass die komplex konjugierte und transponiert von A gleich der Matrix A entspricht...
Aber wie bringe ich die Determinante da ins Spiel?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Fr 27.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei A eine Matrix mit komplexen Einträgen. Zeige die
> folgende Implikation;
> A ist selbstadjungiert [mm]\Rightarrow[/mm] det(A) [mm]\in \IR.[/mm]
> Ich
> weiß, was selbstadjunigert bedeutet, nämlich, dass die
> komplex konjugierte und transponiert von A gleich der
> Matrix A entspricht...
Genau:
[mm] A^{\ast T} = A [/mm]
> Aber wie bringe ich die Determinante da ins Spiel?
Was ist denn der Zusammenhang zwischen [mm] $\det(A)$ [/mm] und [mm] $\det(A^\ast)$? [/mm] Und der zwischen [mm] $\det(A)$ [/mm] und [mm] $\det(A^T)$? [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Sa 28.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
also es gilt [mm] det(A)=det(A^{T}).
[/mm]
Der Zusammenhang zwischen det(A) und [mm] det(A^{\*}) [/mm] weiß ich gerade nicht...
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Sa 28.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> also es gilt [mm]det(A)=det(A^{T}).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Zusammenhang zwischen det(A) und [mm]det(A^{\*})[/mm] weiß ich
> gerade nicht...
Dann probier es dochmal fuer eine $1 [mm] \times [/mm] 1$- und/oder $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix aus, leite daraus eine Vermutung ab und beweise/begruende sie.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 28.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
also ich weiß, dass [mm] det(A)=det(A^{T}) [/mm] und ich vermute weiter, dass [mm] det(A)=det(A^{\*}) [/mm] bzw. [mm] det(A)=det(A^{-}).
[/mm]
Insgesamt also [mm] det(A)=det(A^{\*})=det(A^{-})=det(A^{T}).
[/mm]
Stimmt das soweit?
Viele liebe Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Sa 28.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ich glaube ich habs:
Es gilt [mm] det(A)=det(A^{\*})=det(A^{-})^{T}=det(A^{T}).
[/mm]
Aus der Leibnizformel der Determinante folgt aber auch, dass die Determinante von der konjugierten Matrix A gleich dem konjugierten der Determinante von A ist.
Also muss det(A) reell sein!?
Ich kanns leider nicht sauber in Latex aufschreiben.... Wie unterstreicht man oben was?
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 28.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiri!
> Ich glaube ich habs:
> Es gilt [mm]det(A)=det(A^{\*})=det(A^{-})^{T}=det(A^{T}).[/mm]
Die Formel stimmt so nicht, aber das liegt wahrscheinlich eher am Aufschreiben.
>
> Aus der Leibnizformel der Determinante folgt aber auch,
> dass die Determinante von der konjugierten Matrix A gleich
> dem konjugierten der Determinante von A ist.
Genau!
> Also muss det(A) reell sein!?
Ja.
> Ich kanns leider nicht sauber in Latex aufschreiben.... Wie
> unterstreicht man oben was?
\overline{A}: [mm]\overline{A}[/mm]
Also: sei [mm] $\overline{A}$ [/mm] die zu A konjugiert komplexe und [mm] $A^\ast$ [/mm] die zu A adjungierte Matrix. Dann ist
[mm]\det(A^\ast) = \det(\overline{A}^T)= \det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 28.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo Rainer,
genauso meinte ich es. Super, ich dank dir!
Viele liebe Grüße
kiri
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