schwache Lösung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Do 30.06.2011 | | Autor: | hula |
Hallo!
Ich habe nur eine Frage betreffend einem Satz aus einem Buch. Wenn ich folgendes Problem lösen möchte:
[mm] \Delta u =0 [/mm] in einer offenen beschränkten Teilmenge der $\ [mm] \IR^n$
[/mm]
[mm] u=0 [/mm] auf dem Rand
Wobei der Rand als "schön" angenommen wird. Ich habe nun eine schwache Lösung t in $\ [mm] H^1 [/mm] $ gefunden. Wenn man nun sagt, dass
[mm] \bruch{\partial t}{\partial x_i} [/mm]
Die Gleichung ebenfalls löst, dann meint man das wie folgt:
[mm] \Delta (\bruch{\partial t}{\partial x_i}) =(\bruch{\partial }{\partial x_i}) \Delta t = (\bruch{\partial t}{\partial x_i}) (0) =0[/mm]
Oder vestehe ich dies falsch?
mfg
hula
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Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe nur eine Frage betreffend einem Satz aus einem
> Buch. Wenn ich folgendes Problem lösen möchte:
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> [mm]\Delta u =0[/mm] in einer offenen beschränkten Teilmenge der [mm]\ \IR^n[/mm]
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> [mm]u=0[/mm] auf dem Rand
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> Wobei der Rand als "schön" angenommen wird. Ich habe nun
> eine schwache Lösung t in [mm]\ H^1[/mm] gefunden. Wenn man nun
> sagt, dass
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> [mm]\bruch{\partial t}{\partial x_i}[/mm]
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> Die Gleichung ebenfalls löst, dann meint man das wie
> folgt:
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> [mm]\Delta (\bruch{\partial t}{\partial x_i}) =(\bruch{\partial }{\partial x_i}) \Delta t = (\bruch{\partial t}{\partial x_i}) (0) =0[/mm]
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> Oder vestehe ich dies falsch?
falls diese Frage noch jemanden interessiert:
ganz so einfach ist es nicht, da dein $t$ (ungewöhnliche bezeichnung für eine funktion übrigens) ja nur schwache lösung der PDG ist. Du kannst also im allgemeinen nicht ohne weiteres eine punktweise, klassische ableitung berechnen. Insofern müsste man wohl sowieso dazusagen, dass [mm] $\bruch{\partial t}{\partial x_i}$ [/mm] im schwachen, distributions-sinne zu verstehen ist. dieses würde ich dann in die schwache formulierung der PDG einsetzen und versuchen, die gewünschte aussage zu beweisen (ableitung durch partielle integration auf testfunktion übertragen).
Gruss
Matthias
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