schwache Konvergenz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 14.06.2017 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Seien X, [mm] X_1, X_2,... [/mm] stetige reelle Zufallsvariablen mit [mm] X_n\rightarrow [/mm] X für [mm] n\rightarrow \infty. [/mm] Zeige, dass auch [mm] X_n^2\rightarrow X^2 [/mm] für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] |
Hallo,
ich habe einige Probleme diese Aufgabe zulösen bzw. weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll, daher hoffe ich Ihr könnt mir da etwas weiterhelfen.
Man muss zeigen, es gilt [mm] X^2_n\rightarrow X^2, [/mm] falls [mm] F_{X_n^2}(x)\rightarrow F_{X}(x).
[/mm]
Wie fange hier am Besten an?
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[mm]X_n^2\rightarrow X^2[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
bedeutet: Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N, so dass für alle n>N gilt: [mm] |X^2_n -X^2|<\varepsilon.
[/mm]
[mm]X_n\rightarrow[/mm] X für [mm]n\rightarrow \infty.[/mm]
bedeutet: Für jedes [mm] \varepsilon_1 [/mm] > 0 existiert ein [mm] N_1, [/mm] so dass für alle [mm] n>N_1 [/mm] gilt: [mm] |X_n -X|<\varepsilon_1.
[/mm]
Das Zweite weißt du, und damit sollst du das Erste beweisen. Das erreichst du, indem du zwischen N, [mm] N_1 [/mm] , [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \varepsilon_1 [/mm] eine "entsprechende Beziehung" herstellst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 15.06.2017 | | Autor: | mimo1 |
Vielen Dank für Deinen Hinweis.
kann ich folgendes machen:
[mm] |X^2_n-X^2|=|(X_n-X)(X_n+X)|=|X_n-X|*|X_n+X|<\epsilon|X_n+X|=\epsilon|X_n+X-X+X|<\epsilon^2+2\epsilon|X|=:\epsilon_1
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Do 15.06.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo mimo1,
viel einfacher:
In Analysis 1 gibt es ein Sätzchen aus den Rechenregeln von Folgen:
Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] zwei konvergente Folgen in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = b [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} [/mm] * [mm] b_{n}) [/mm] = a * b.
Dieser Fall ist eine Anwendung des Satzes mit [mm] a_{n} [/mm] = [mm] X_{n}, b_{n} [/mm] = [mm] X_{n}, [/mm] a = X, b = X
=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} X_{n}^{2} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (X_{n} [/mm] * [mm] X_{n}) [/mm] = X * X = [mm] X^{2}, [/mm] was zu beweisen war 
Viele Grüße,
X3nion
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> Vielen Dank für Deinen Hinweis.
>
> kann ich folgendes machen:
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> [mm]|X^2_n-X^2|=|(X_n-X)(X_n+X)|=|X_n-X|*|X_n+X|<\epsilon|X_n+X|=\epsilon|X_n+X-X+X|<\epsilon^2+2\epsilon|X|=:\epsilon_1[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja, das hast du genau richtig gemacht. Allerdings muss du davon ausgehen, dass man dir nun [mm] \varepsilon_1 [/mm] nennt und du das dazu passende [mm] \varepsilon [/mm] angeben musst. Umstellen nach [mm] \varepsilon [/mm] mit p-q-Formel gibt:
Zu gegebenem [mm] \varepsilon_1 [/mm] bilde ich
[mm] \varepsilon=\wurzel{x^2+\varepsilon_1}-|x| [/mm] > 0.
Dann ist ab irgendeinem N für n>N der Wert [mm] |x_n-x|<\varepsilon [/mm] und damit [mm] |x_n^2-x^2|...(s.o.) [/mm] < [mm] \varepsilon_1.
[/mm]
Natürlich ist der Weg von X3nion eleganter, wenn man die "Produktregel" kennt.
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