schw.Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 16.04.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | X sei ein Banachraum.
1.)
[mm] f_k \rightarrow [/mm] f in X'
[mm] x_k \rightarrow [/mm] x (schwach!) in X
[mm] \Rightarrow f_k(x_k) \rightarrow [/mm] f(x)
2.) [mm] f_k \rightarrow [/mm] f (* schwach!) in X'
[mm] x_k \rightarrow [/mm] (schwach!) in X
[mm] \Rightarrow f_k(x_k) \rightarrow [/mm] f(x) |
Hallo,
ich hab eine Frage zu den beiden Aussagen.
Bei der ersten kann man ja so abschätzen:
[mm] |f(x_k) [/mm] - f(x) | [mm] \leq |f_k(x_k) [/mm] - [mm] f(x_k)| [/mm] + [mm] |f(x_k) [/mm] - f(x)|
[mm] \leq \| f_k [/mm] - f [mm] \| \| x_k \| [/mm] + [mm] |f(x_k) [/mm] - f(x) | [mm] \rightarrow [/mm] 0
da ja wegen [mm] f_k \rightarrow [/mm] f [mm] \|f_k [/mm] - f [mm] \| \rightarrow [/mm] 0 und wegen der schwachen Konvergenz (ich weiß nicht wie man das halbe Pfeilzeichen eingibt) [mm] |f(x_k) [/mm] - f(x)| [mm] \rightarrow [/mm] 0.
Jetzt braucht man doch aber noch, dass [mm] \|x_k\| [/mm] beschränkt ist und nicht gegen unendlich abschwirrt, warum ist das so?
Die Aussage 2.) ist sicherlich falsch. Dazu habe ich in einem Buch ein Gegenbsp gefunden:
Betrachte [mm] l_2 [/mm] : [mm] \{ x = (x_j){j \in N} : \sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^2 < \infty \}
[/mm]
Sei nun [mm] x_k [/mm] = [mm] e_k [/mm] und [mm] f_k(x) [/mm] = x(k).
Dann folgt [mm] f_k(x_k) [/mm] = 1
aber [mm] f_k [/mm] konvergiert *schwach gegen 0 und [mm] x_k [/mm] gegen Null.
Zuerst verstehe ich nicht was x(k) bdeutet? Was macht das x mit dem k?
Und warum konvergiert [mm] f_k [/mm] *schwach gegen Null? Irgendwie fehlen mir hier ein paar Zwischenschritte....
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> X sei ein Banachraum.
> 1.)
> [mm]f_k \rightarrow[/mm] f in X'
> [mm]x_k \rightarrow[/mm] x (schwach!) in X
> [mm]\Rightarrow f_k(x_k) \rightarrow[/mm] f(x)
>
> 2.) [mm]f_k \rightarrow[/mm] f (* schwach!) in X'
> [mm]x_k \rightarrow[/mm] (schwach!) in X
>
> [mm]\Rightarrow f_k(x_k) \rightarrow[/mm] f(x)
> Hallo,
> ich hab eine Frage zu den beiden Aussagen.
> Bei der ersten kann man ja so abschätzen:
> [mm]|f(x_k)[/mm] - f(x) | [mm]\leq |f_k(x_k)[/mm] - [mm]f(x_k)|[/mm] + [mm]|f(x_k)[/mm] -
> f(x)|
>
> [mm]\leq \| f_k[/mm] - f [mm]\| \| x_k \|[/mm] + [mm]|f(x_k)[/mm] - f(x) | [mm]\rightarrow[/mm]
> 0
>
> da ja wegen [mm]f_k \rightarrow[/mm] f [mm]\|f_k[/mm] - f [mm]\| \rightarrow[/mm] 0
> und wegen der schwachen Konvergenz (ich weiß nicht wie man
> das halbe Pfeilzeichen eingibt) [mm]|f(x_k)[/mm] - f(x)| [mm]\rightarrow[/mm]
> 0.
>
> Jetzt braucht man doch aber noch, dass [mm]\|x_k\|[/mm] beschränkt
> ist und nicht gegen unendlich abschwirrt, warum ist das
> so?
Es konvergiere [mm] (x_k) [/mm] schwach gegen x. Also [mm] x'(x_k) \to [/mm] x'(x) für jedes x' in X'
Fasse nun jedes [mm] x_k [/mm] und auch x als Elemente des Biduals X'' auf
(das habe ich Dir gestern erklärt !)
Dann ist [mm] (x_k) [/mm] eine Folge stetiger Linearformen auf X' und x ist eine stetige Linearform auf X'
[mm] x'(x_k) \to [/mm] x'(x) für jedes x' in X' bedeutet nun gerade, dass [mm] (x_k) [/mm] auf X' punktweise gegn x konvergiert.
Der Satz von Banach-Steinhaus besagt nun: [mm] (||x_k||) [/mm] ist beschränkt.
>
> Die Aussage 2.) ist sicherlich falsch. Dazu habe ich in
> einem Buch ein Gegenbsp gefunden:
> Betrachte [mm]l_2[/mm] : [mm]\{ x = (x_j){j \in N} : \sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^2 < \infty \}[/mm]
>
> Sei nun [mm]x_k[/mm] = [mm]e_k[/mm] und [mm]f_k(x)[/mm] = x(k).
>
> Dann folgt [mm]f_k(x_k)[/mm] = 1
>
> aber [mm]f_k[/mm] konvergiert *schwach gegen 0 und [mm]x_k[/mm] gegen Null.
>
> Zuerst verstehe ich nicht was x(k) bdeutet? Was macht das x
> mit dem k?
Sei x= (x(k)) [mm] \in l^2. f_k [/mm] leistet folgendes:
[mm] f_k(x) [/mm] = x(k)
Für das k-te Folgenglied wird hier x(k) geschrieben, da die Bez. [mm] x_k [/mm] schon vegeben ist.
Das Funktional [mm] f_k [/mm] ordnet also x seine k-te Koordinate zu.
FRED
> Und warum konvergiert [mm]f_k[/mm] *schwach gegen Null? Irgendwie
> fehlen mir hier ein paar Zwischenschritte....
>
> Viele Grüße,
> Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:21 Do 16.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo FRED,
danke für die Erklärungen - das hab ich nun verstanden!
Aber hier noch eine Rückfrage:
>
> Das Funktional [mm]f_k[/mm] ordnet also x seine k-te Koordinate zu.
>
bedeutet das also, dass
f(x) = [mm] \lim_{k \rightarrow \infty} f_k(x_k) [/mm] = 0 ist, da quasi die "unendlichste" Koordinate Null ist?
Und warum brauchen wir noch dass [mm] x_k [/mm] schwach gegen Null konvergiert ?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 20.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:14 Di 21.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich versteh das Gegenbsp. immernoch nicht so ganz.
Warum konvergiert [mm] f_k [/mm] *schwach gegen Null und warum konvergiert [mm] x_k [/mm] schwach gegen Null ?
Wäre super, wenn mir dazu noch jemand etwas schreiben könnte...
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 23.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
