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| Aufgabe | Bestimme die Determinante der schiefsymmetrischen [mm] 6\times [/mm] 6 Matrix
[mm] \pmat{ 0 & a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16} \\ -a_{12} & 0&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\-a_{13}&-a_{23}&0&a_{34}&a_{35}&a_{36}\\-a_{14}&-a_{24}&-a_{34}&0&a_{45}&a_{46}\\-a_{15}&-a_{25}&-a_{35}&-a_{45}&0&a_{56}\\-a_{16}&-a_{26}&-a_{36}&-a_{46}&-a_{56}&0 } [/mm] |
Hallo,
ich sitze vor diese Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe die Matrix in Blockmatrizen unterteilt:
[mm] A=\pmat{ 0& a_{12}& a_{13} \\ - a_{12} & 0& a_{23}\\- a_{13}& -a_{23}& 0 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ a_{14}& a_{15}& a_{16} \\a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{34}& a_{35}& a_{36} }
[/mm]
[mm] C=\pmat{ -a_{14}& -a_{24}& -a_{34} \\-a_{15}& -a_{25}&- a_{35}\\ -a_{16}& -a_{26}& -a_{36} }
[/mm]
[mm] D=\pmat{ 0& a_{45}& a_{46} \\ - a_{45} & 0& a_{56}\\- a_{46}& -a_{56}& 0 }
[/mm]
Jetzt würde ich das Schurkomplement verwenden wollen, das folgend definiert wurde
[mm] |M|=|A||D-CA^{-1}B|, [/mm] aber da |A|=0 ist, kann ich in dem Fall es nicht benutzen.
Dann habe ich folgen gemacht
|M|=|AD-CD| und [mm] C=-B^t [/mm]
[mm] \Rightarrow |M|=|AD-(-1)B^tB|=\vmat{ \pmat{-a _{12}a _{45}-a _{13}a _{46} &-a _{13}a _{56}&a _{12}a _{56} \\ -a _{23}a _{46} & -a _{12}a _{45}-a _{23}a _{56} &-a _{12}a _{45} -a _{23}a _{56} \\a _{23}a _{45} &-a _{13}a _{45}&-a _{13}a _{46}-a _{23}a _{56} }-\pmat{-a _{14}^2-a _{24}^2-a _{34}^2&-a _{14}a _{15}-a _{24}a _{25}-a _{34}a _{35}& -a _{14}a _{16}-a _{24}a _{26}-a _{34}a _{36}\\-a _{15}a _{14}-a _{25}a _{24}-a _{35}a _{34}&-a _{15}^2-a _{25}^2-a _{35}^2 &-a _{15}a _{16}-a _{25}a _{26}-a _{35}a _{36}\\-a _{16}a _{14}-a _{26}a _{24}-a _{36}a _{34}&-a _{16}a _{15}-a _{26}a _{25}-a _{36}a _{35}&-a _{16}^2-a _{26}^2-a _{36}^2 } }
[/mm]
Ich könnte es jetzt ausrechnen aber dann würde ich wahrscheinlich bis morgen dransitzen.
Gibt es keinen anderen Weg?
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> Bestimme die Determinante der schiefsymmetrischen [mm]6\times[/mm] 6
> Matrix
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Hallo,
ich würde es ganz naiv mit der Leibnizregel probieren.
Die einzelnen Summanden genau angucken - ein Teil wird verschwinden wegen der Nullen, andere müßten sich ja gegenseitig aufheben wg der Vorzeichen.
(Heraus kommt übrigens das Quadrat der Pfaffschen Determinante der Matrix - hab' ich aber nicht ausgerechnet, sondern nachgelesen.)
LG Angela
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Danke für deinen Tipp.
ich habe es mit der Leibnizformel versucht aber irgendwie komme ich nicht weiter bzw müsste jetzt alle Permutationen nachrechnen was bei einer [mm] 6\times [/mm] 6 Matrix 720 sind.
Gibt es keinen anderen Weg solch eine Matrix zu berechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Di 01.11.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi
Aber du musst ja nur die Fälle betrachten bei denen keine Zeile(falls du nach Zeilen entwickelst) an ihrer ursprünglichen Position steht, ansonsten fällt mir nur noch der Der Laplace'sche Entwicklungssatz ein!
LG
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