satz implizite funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei z(x,y) durch die Gleichung [mm] z=x^2\phi(z)^2+y^2\psi(z)^2 [/mm] mit stetig diffbaren Funktionen [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] definiert. Zeige, dass unter Vorraussetzung [mm] 1-x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z) \not=0 [/mm]
[mm] y\psi^2(z)\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi^2(z)\bruch{\partial y}{\partial x} [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein ansatz:
Sei [mm] \IR^3 \rightarrow \IR [/mm] mit [mm] f(x,y,z)=z-x^2\phi(z)^2-y^2\psi(z)^2 [/mm]
dann ist f(x,y,z(x,y))=0
Man erhält folg. partielle abl.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2x\phi(z)^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2y\psi(z)^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=1-x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)
[/mm]
da laut vor. [mm] \bruch{\partial f}{\partial z} \not=0 [/mm] d.h. invertierbar , dann gilt nach satz implizite fkten. es. es eine steige diffbare fkt. [mm] \overline [/mm] {z} auf offen Umgebung.
dann gilt [mm] \overline{z}(x,y)=z(x,y)
[/mm]
[mm] \overline{z'}(x,y)=-(\bruch{\partial f}{\partial z})^{-1}(\bruch {\partial f}{\partial (x,y)})=-(1-x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z))^{-1}(2x\phi(z)^2 [/mm] , [mm] 2y\psi(z)^2 [/mm] )
Ich komme leider nicht weiter und bekomme es nicht in diese form wie es in der aufgabenstellung steht. könnt ihr mir weiterhelfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mi 16.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Da ist gewaltig der Wurm drin ! Entweder hat sich der Aufgabensteller vertan oder Du. Die Funktion f hast Du richtig definiert:
$ [mm] f(x,y,z)=z-x^2\phi(z)^2-y^2\psi(z)^2 [/mm] $
Die partielle Ableitung nach z lautet korrekt so:
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=1-2x^2\phi(z)\phi'(z)-2y^2\psi(z)\psi'(z) [/mm] $
Auch wie man auf
(*) $ [mm] y\psi^2(z)\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi^2(z)\bruch{\partial y}{\partial x} [/mm] $
kommen soll, ist mir ein Rätsel. y ist eine Variable, dann wäre [mm] \bruch{\partial y}{\partial x}=0..... [/mm] ???
Wenn ich die Gleichung
$ [mm] z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2 [/mm] $
nach x differenziere komme ich nicht auf (*) !
FRED
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danke für deine Antwort: Ich habe die funktion falsch abgeschrieben. Mein fehler.
Es muss lautet [mm] 2z=x^2\phi(z)^2+y^2\psi(z)^2 [/mm]
wenn man die partiell ableitet nach z dann erhält man die Vorraussetzung ( nachdem man durch 2 geteilt hat)
Nachdem das geklärt ist, wie mache ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 16.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> danke für deine Antwort: Ich habe die funktion falsch
> abgeschrieben. Mein fehler.
> Es muss lautet [mm]2z=x^2\phi(z)^2+y^2\psi(z)^2[/mm]
>
> wenn man die partiell ableitet nach z dann erhält man die
> Vorraussetzung ( nachdem man durch 2 geteilt hat)
>
> Nachdem das geklärt ist, wie mache ich weiter?
Du sollst noch zeigen:
(*) $ [mm] y\psi^2(z)\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi^2(z)\bruch{\partial y}{\partial x} [/mm] $
Ich hab Dir doch schon gesagt, dass (*) völlig sinnlos ist.
Nehmen wir mal den Spezialfall [mm] \phi(z)=1=\psi(z) [/mm] für alle z.
Dann lautet (*) 2xy=0 ???
FRED
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Noch einfehler bei der aufgabestellung, die mir beim abschreiben passiert ist.
es muss gelten [mm] y\psi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial y}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Mi 16.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Noch einfehler bei der aufgabestellung, die mir beim
> abschreiben passiert ist.
>
> es muss gelten [mm]y\psi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm]
Na also....
Wir haben:
$ [mm] z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2 [/mm] $
Berechne daraus die Ableitungen [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] und zeige dass gilt:
[mm]y\psi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial x}=x\phi(z)^2\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm]
FRED
>
>
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wie kommst du auf die Gleichung
[mm] z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2 [/mm] ? Muss es nicht
[mm] 2z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2 [/mm] lauten?
wenn ich anch der 2. Gleichung abl. d.h
2 [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}= 2x\phi(z(x,y))^2+2x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+2y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)
[/mm]
2 [mm] \bruch{\partial z}{\partial y}= 2x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+2y\psi(z(x,y))+2y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)
[/mm]
wenn man beide durch 2 teilt dann erhalte ich folgende form:
(I) [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}= x\phi(z(x,y))^2+x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)
[/mm]
(II) [mm] \bruch{\partial z}{\partial y}= x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+y\psi(z(x,y))+y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)
[/mm]
ich habe es dann mit LGS: indem ich (I) mit -1 multipl. habe und dann mit (II) addiert erhalte dann
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y}-\bruch{\partial z}{\partial x}= y\psi(z(x,y)^2-x\phi(z(x,y))^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y} +x\phi(z(x,y))^2 =\bruch{\partialz}{\partialx}+y\psi(z(x,y)^2
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen, irgendwie erhalte ich nnicht diese Form wie in der Aufgabenstellung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mi 16.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> wie kommst du auf die Gleichung
> [mm]z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2[/mm] ? Muss es nicht
> [mm]2z(x,y)=x^2\phi(z(x,y))^2+y^2\psi(z(x,y))^2[/mm] lauten?
Ja, da hab ich mich verschrieben !
>
> wenn ich anch der 2. Gleichung abl. d.h
>
> 2 [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}= 2x\phi(z(x,y))^2+2x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+2y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)[/mm]
>
> 2 [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}= 2x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+2y\psi(z(x,y))+2y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)[/mm]
>
Diese Ableitungen sind falsch.
FRED
> wenn man beide durch 2 teilt dann erhalte ich folgende
> form:
>
> (I) [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}= x\phi(z(x,y))^2+x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)[/mm]
>
> (II) [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}= x^2\phi'(z(x,y))z'(x,y)+y\psi(z(x,y))+y^2\psi'(z(x,y))z'(x,y)[/mm]
>
> ich habe es dann mit LGS: indem ich (I) mit -1 multipl.
> habe und dann mit (II) addiert erhalte dann
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}-\bruch{\partial z}{\partial x}= y\psi(z(x,y)^2-x\phi(z(x,y))^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y} +x\phi(z(x,y))^2 =\bruch{\partialz}{\partialx}+y\psi(z(x,y)^2[/mm]
>
> Kann mir jemand weiterhelfen, irgendwie erhalte ich nnicht
> diese Form wie in der Aufgabenstellung.
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Warum sind die Ableitungen falsch? ich habe einmal produkt und kettenregel angewendet
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Hallo questionpeter,
> Warum sind die Ableitungen falsch? ich habe einmal produkt
> und kettenregel angewendet
Die Potenzregel ist bei den Ableitungen auch mit im Spiel:
[mm]2 \bruch{\partial z}{\partial x}= 2x\phi(z(x,y))^2+2x^2\red{\phi(z(x,y))}\phi'(z(x,y))\blue{\bruch{\partial z}{\partial x}}+2y^2\red{\psi(z(x,y))}\psi'(z(x,y))\blue{\bruch{\partial z}{\partial x}} [/mm]
[mm]2 \bruch{\partial z}{\partial y}= 2x^2\red{\phi(z(x,y))}\phi'(z(x,y))\blue{\bruch{\partial z}{\partial y}}+2y\psi(z(x,y))^{\blue{2}}+2y^2\red{\psi(z(x,y))}\psi'(z(x,y))\blue{\bruch{\partial z}{\partial y}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ich habe jetzt einen neuen Versuch gestartet:
2 [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}= -(\bruch{\partial f}{\partial z})^-1 (\bruch{\partial f}{\partial x})= \bruch{-2x\phi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)} [/mm]
durch 2 teilen und erhalte dann
[mm] 2\bruch{\partial z}{\partial x}= -(\bruch{\partial f}{\partial z})^-1 (\bruch{\partial f}{\partial x})= \bruch{-x\phi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)}
[/mm]
dasselbe für [mm] \bruch{\partial z}{\partial y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\bruch{\partial f}{\partial y})= \bruch{-y\psi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)}
[/mm]
beide Gleichung löse ich nach
[mm] x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)= \bruch{-x\phi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial x}}
[/mm]
[mm] x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)= \bruch{-y\psi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial y}} [/mm] dann gleichsetzen
[mm] \bruch{-x\phi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial x}}= \bruch{-y\psi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial y}}
[/mm]
ich erhalte somit die gewünschte form
ist es jetzt richtig ( ich habe jeweils ^2 vergessen,, einfach nicht beachten)
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Hallo questionpeter,
> Ich habe jetzt einen neuen Versuch gestartet:
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> 2 [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}= -(\bruch{\partial f}{\partial z})^-1 (\bruch{\partial f}{\partial x})= \bruch{-2x\phi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)}[/mm]
> durch 2 teilen und erhalte dann
>
Offenbar hast Du hier ein anderes f verwendet:
[mm]2z=f\left(x,\ y,\ z\left(x,y) \ \right)[/mm]
> [mm]2\bruch{\partial z}{\partial x}= -(\bruch{\partial f}{\partial z})^-1 (\bruch{\partial f}{\partial x})= \bruch{-x\phi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)}[/mm]
>
Nach der obigen Gleichung ergibt sich etwas anderes.
> dasselbe für [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\bruch{\partial f}{\partial y})= \bruch{-y\psi(z)}{x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)}[/mm]
>
> beide Gleichung löse ich nach
>
> [mm]x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)= \bruch{-x\phi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial x}}[/mm]
>
>
> [mm]x^2\phi(z)\phi'(z)+y^2\psi(z)\psi'(z)= \bruch{-y\psi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial y}}[/mm]
> dann gleichsetzen
>
> [mm]\bruch{-x\phi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial x}}= \bruch{-y\psi(z)}{\bruch{\partial f}{\partial y}}[/mm]
>
> ich erhalte somit die gewünschte form
>
> ist es jetzt richtig ( ich habe jeweils ^2 vergessen,,
> einfach nicht beachten)
>
Gruss
MathePower
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