>satz de l'hospital< < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hi @ all
also hab heute nen schönes referat aufs auge gedrückt bekommen...
besprechen grade satz von de l'hosital, ok so weit so gut
die 2 sätze die wir gemacht haben sagen
[mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
das aus.
im unserem buch sind daraus 2 sätze gemacht worden einmal das der grenzwert für x -> ∞ "0/0" ergibt und einmal dass der "∞/∞" ergibt.
(also nur bei rationalen Funktionen, sonst würde sich ja nie ein bruch ergeben)
ich hab dann mal gefragt worin denn überhaupt der unterschied der beiden sätze besteht, da der beweis bis auf eine substitution x = 1/z; für x -> ∞
eigenltich gleich war.
so dann kam unsere gloreiche lehrerin auf die idee mir doch mal den "richtigen" 2. Satz von de l'hospital als referat auf zu geben... (den hatte sie in ihrem mathe studium gelernt) ok dachte mir kein problem doch weiss ich noch nicht eimal worum sich dieser 2. satz drehen soll... ich glaube sie meinte was man weiter macht wenn beim anwednen des 1. satzes nach dem ableiten des nenners und zählers immernoch "∞/∞" ergibt und man kein grenzwert bzw asymptote erkennen kann.
hab dazu aber auf anderen sites nix gefunden (wikipedia, google)
wäre nett wenn man mir mal nen tipp zum suchen oder nen ansatz geben könnte.
THX
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jo danke erstmal aber den satz des l'hopital
[mm] \lim_{x\to s}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to s}{f'(x)\over g'(x)}\ [/mm] \ \ [mm] \mbox{mit}\ \lim_{x\to s}{f(x)}=\lim_{x\to s}{g(x)}=0 [/mm] \ \ [mm] \mbox{oder} \pm \infty
[/mm]
ist ja kein problem nur was machen wenn nach der 1. ableitung (also ohne quotientenregel) immer noch "0/0" da steht bzw unendlich/unendlich ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> jo danke erstmal aber den satz des l'hopital
warum soll die Antwort von Informix falsch geswesen sein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> [mm]\lim_{x\to s}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to s}{f'(x)\over g'(x)}\[/mm]
> \ \ [mm]\mbox{mit}\ \lim_{x\to s}{f(x)}=\lim_{x\to s}{g(x)}=0[/mm] \
> \ [mm]\mbox{oder} \pm \infty[/mm]
>
> ist ja kein problem nur was machen wenn nach der 1.
> ableitung (also ohne quotientenregel) immer noch "0/0" da
> steht bzw unendlich/unendlich ??
dann wendest du den Satz nochmals an.
Hast du ein konkretes Beispiel?
Liebe Grüße
Herby
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joa also bin mir net 100%ig sicher aber:
f(x) = [mm] \bruch{e^x-e^-x}{e^x+e^-x}
[/mm]
wäre für den limes für x->∞ davon "∞/∞"
wäre dann für die ableitungen ohne quotientenregel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\∞} [/mm] )= [mm] \bruch{e^x+e^-x}{e^x-e^-x}
[/mm]
wäre dann x->∞ "∞/∞"
wenn ich dass dann theoretisch wieder ableiten würde würde ich wieder beim ersten bruch und damit wieder bei "∞/∞" landen also mit l'hopital auch nicht zum ziel
(die polynomdivision liefert dann auch keine ergebisse glaub ich)
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es muss natürlich immer e hoch x bzw -x sein hab mich wohl ein bischen verhaspelt mit der /mm schriebweise
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arvi!
Du hast Recht ... mit  de l'Hospital drehst Du Dich hier im Kreis und kommst nicht weiter ...
[mm] $\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x-e^{-x} \ \blue{+ \ 2*e^{-x} \ - \ 2*e^{-x}}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x+e^{-x} \ - \ 2*e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] - [mm] \bruch{2*e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ ...$
Schaffst Du den Rest nun selber?
Gruß
Loddar
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vielen dank lothar!!!
hab so weiter gemacht:
1- [mm] \bruch{2*(e^{-x})}{(e^x)+(e^{-x})}
[/mm]
jetzt hab ich [mm] e^{-x} [/mm] augeklammert
steht da [mm] 1-\bruch{2}{(e^{2x})+1}
[/mm]
also für x->unendlich 0, da unendlich im nenner steht
hoffe mal das war so richitg aber wie kann ich jettz daraus eine regel mit variablen zusammenbasteln?
wäre dann für [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] wenn der rechte bruch nicht existiert odeR?
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geht praktisch darum eine regel zu finden wenn der 1. satz von l'hospital nicht funktioniert (siehe mein 3. post), wie mann dann auf die ränder kommt.
das mit dem ausklammern war ne super idee aber kann ich daraus jetz auch ne formel machen?? ohne 1. regel von l'hospital? verstanden??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arvi!
Meiner Meinung nach lässt sich hier keine (allgemeine) Regel herleiten, die die Grenzen von de l'Hospital aufzeigt.
Diese Funktion hier ist wohl ein Spezialfall, da der Nenner exakt der Ableitung des Zählers entspricht und umgekehrt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
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... lässt sich auch diese Aufgabe mit de l'Hospital lösen:
[mm] $\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{-x}*\left(e^{2x}-1\right)}{e^{-x}*\left(e^{2x}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*\left(e^{2x}-1\right)}{1*\left(e^{2x}+1\right)}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$
[/mm]
Mit de l'Hospital ergibt sich dann: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2*e^{2x}}{2*e^{2x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{1} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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ach ja... hmm ok danke erstmal
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Das verstehe ich jetzt nicht, worauf Du hinaus willst ...
