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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 03.07.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich brauche schnell Hilfe bei der nächsten Aufgabe:
Es sei [mm] x_{0} \in [/mm] U, U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen, ein kritischer Punkt von f [mm] \in C^{2}(U), [/mm] d.h. es gilt [mm] gradf(x_{0})=0.
[/mm]
a) Zeige, dass f in [mm] x_{0} [/mm] einen Sattelpunkt hat, wenn [mm] H_{f}(x_{0}) [/mm] indefinit ist.
Ansich ist das ja klar, aber ich weis leider nicht wie man das beweist.
Zur gleichen Aufgabe war dann noch folgende Teilaufgabe, wo ich die vorgehensweise nicht weis:
b) [mm] H_{f}(x_{0}) [/mm] sei positiv semidefinit. f soll bei [mm] x_{0} [/mm] auf ein lokales,isoliertes Minimum/Maximum untersucht werden. Welche Fälle können für folgende Matrizen eintreten (Beweis/Gegenbeispiel)?
[mm] H_{f}(x_{0})=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },
[/mm]
[mm] H_{f}(x_{0})=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
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Hallo Bobby,
> Hallo!
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> Ich brauche schnell Hilfe bei der nächsten Aufgabe:
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> Es sei [mm]x_{0} \in[/mm] U, U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen, ein kritischer
> Punkt von f [mm]\in C^{2}(U),[/mm] d.h. es gilt [mm]gradf(x_{0})=0.[/mm]
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> a) Zeige, dass f in [mm]x_{0}[/mm] einen Sattelpunkt hat, wenn
> [mm]H_{f}(x_{0})[/mm] indefinit ist.
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> Ansich ist das ja klar, aber ich weis leider nicht wie man
> das beweist.
>
Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt:
[mm] f(x+\xi)=f(x)+\bruch{1}{2}<\xi,H_{f}(x)\xi>+o(||\xi||^2) [/mm] (*), wobei [mm] \xi \in \IR^n [/mm] so gewählt ist, dass [mm] x+\xi \in [/mm] U.
[mm] H_{f}(x_0) [/mm] ist indefinit, d.h. es gibt [mm] \xi, \eta \in \IR^n [/mm] \ {0}, mit [mm] <\xi,H_{f}\xi> [/mm] = [mm] \alpha [/mm] > 0 (1) und [mm] <\eta,H_{f}\eta> [/mm] = [mm] \beta [/mm] < 0 (2).
f hat in [mm] x_0 [/mm] einen Sattelpunkt, falls in jeder Umgebung von [mm] x_0 [/mm] Punkte y', y'' existieren mit f(y'')<f(y)<F(y').
Nach (*) und (1) gilt für kleine reelle Zahlen t: [mm] f(x+t\xi)=f(x)+\bruch{1}{2}+\phi(t\xi) =f(x)+\bruch{\alpha}{2}t^2+\phi(t\xi).
[/mm]
Für t genügend klein gilt : [mm] |\phi(t\xi)|\le \bruch{\alpha}{4}t^2, [/mm] also [mm] f(x+t\xi)>f(x) [/mm] für [mm] 0<|t|<\delta.
[/mm]
Analog gilt für genügend kleine t [mm] \not= [/mm] 0: [mm] f(x+t\eta)
> Zur gleichen Aufgabe war dann noch folgende Teilaufgabe, wo
> ich die vorgehensweise nicht weis:
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> b) [mm]H_{f}(x_{0})[/mm] sei positiv semidefinit. f soll bei [mm]x_{0}[/mm]
> auf ein lokales,isoliertes Minimum/Maximum untersucht
> werden. Welche Fälle können für folgende Matrizen eintreten
> (Beweis/Gegenbeispiel)?
> [mm]H_{f}(x_{0})=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },[/mm]
> [mm]H_{f}(x_{0})=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
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[mm] H_{f}(x_{0})=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }. [/mm] Hier ist die Hessematrix indefinit, also hat f in [mm] x_0 [/mm] kein lokales Extremum.
[mm] H_{f}(x_{0})=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }. [/mm] Sei v [mm] \in \IR^2 [/mm] \ {0}, [mm] v=(v_1,v_2). [/mm]
[mm] =(v_1,v_2)\cdot \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \cdot \vektor{v_1 \\ v_2}=(v_1,v_2)\cdot \vektor{v_1 \\ 0}=v_{1}^2 [/mm] > 0, also ist [mm] H_{f}(x_0) [/mm] positiv definit, und f hat in [mm] x_0 [/mm] ein isoliertes Minimum.
gruss,
logarithmus
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