ringe, wieso x(x-y)=0? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mo 01.07.2013 | | Autor: | drossel |
Hi,
wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element ist gilt, dass [mm] x^k(x-y)=0, [/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0 für ein [mm] k\in \mathbb{N}?
[/mm]
Das ist keine Hausaufgabe, sondern ich hab es irgendwo gelesen und es geht mir nicht mehr aus dem Kopf.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mo 01.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Hi,
> wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element
> ist gilt, dass [mm]x^k(x-y)=0,[/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0
> für ein [mm]k\in \mathbb{N}?[/mm]
> Das ist keine Hausaufgabe,
> sondern ich hab es irgendwo gelesen und es geht mir nicht
> mehr aus dem Kopf.
> Gruß
Es ist sehr schwierig Deine Formulierung zu verstehen, aber wenn ich es richtig begriffen habe, dann genuegt es [mm] $(x(x-y))^{k}$ [/mm] zu betrachten (Kommutativitaet vorausgesetzt).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 01.07.2013 | | Autor: | drossel |
Danke für die Antwort, willst du auf den binomsichen Lehrsatz hinaus?
entschuldigung. also: Sei R ein Ring, indem 0 das einzige nilpotente Element ist und [mm] x,y\in [/mm] R. sei k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und es gelte [mm] x^k(x-y)=0. [/mm] Daraus folgt x(x-y)=0.
ich hoffe, so ist es verständlicher hoffe ich.
Das ist leider auch das Problem, die Elemente müssen nicht invertierbar sein, der Ring ist nicht notwendigerweise kommutativ.
Deshalb habe ich keine Ahnung, wieso die Behauptung stimmt und wie ich sie beweisen soll, weil einfach so wenig gegeben ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 01.07.2013 | | Autor: | hippias |
Meine Verstaendnisschwierigkeiten ruehrten von fehlenden Satzzeichen, ueberfluessigen Worten, nachlasessigen Formulierungen etc. her. Ich denke oftmals: Wer so formuliert, wird auch niemals einen klaren Gedanken fassen - aber das ist meine persoehnliche Meinung.
Den binomischen Lehrsatz brauchst Du nicht: Loese die - aeussere - Klammer auf in dem Term [mm] $(x(x-y))^{k}$ [/mm] und wende die Voraussetzungen an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Di 02.07.2013 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi,
> wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element
> ist gilt, dass [mm]x^k(x-y)=0,[/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0
> für ein [mm]k\in \mathbb{N}?[/mm]
Versuche es mal mit einem Widerspruchsbeweis, dann ist es ganz leicht zu zeigen. Also nimm an, es gilt [mm]x*(x-y) \neq 0[/mm]. Dann unterscheidest du die Fälle [mm]x=0[/mm] und [mm]x\neq0[/mm]. Im zweiten Fall folgt der Widerspruch unmittelbar. Den ersten überlasse ich dir zur Übung.
Gruß Micha ;)
|
|
|
|
