richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
heute wurde gesagt, dass folgendes gilt:
[mm] Df_v(x_0)=Df(x_0)*v
[/mm]
also bedeutet dies, dass die richtungsableitung in Richtung v im punkt [mm] x_0 [/mm] für eine funktion die nach [mm] \IR [/mm] geht, gerade der [mm] grad(x_0)*v [/mm] gilt.
mich wundert, wo die einschränkung [mm] ||v||_2=1 [/mm] bleibt? das soll angeblich für beliebige v gelten demnach wäre die Ableitung ja nicht mehr eindeutig und es würde gelten [mm] Df_v(x_0)=\lambda*grad(x_0)*v [/mm] für alle [mm] \lambda\in\IR, [/mm] aber das kann doch eigentlich gar nicht sein.
wisst ihr was ich evtl falsch sehe bzw falsch verstanden habe?
danke und gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hey leute,
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> heute wurde gesagt, dass folgendes gilt:
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> [mm]Df_v(x_0)=Df(x_0)*v[/mm]
Das gilt aber nur, wenn f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist.
>
> also bedeutet dies, dass die richtungsableitung in Richtung
> v im punkt [mm]x_0[/mm] für eine funktion die nach [mm]\IR[/mm] geht, gerade
> der [mm]grad(x_0)*v[/mm] gilt.
>
> mich wundert, wo die einschränkung [mm]||v||_2=1[/mm] bleibt? das
> soll angeblich für beliebige v gelten demnach wäre die
> Ableitung ja nicht mehr eindeutig und es würde gelten
> [mm]Df_v(x_0)=\lambda*grad(x_0)*v[/mm] für alle [mm]\lambda\in\IR,[/mm] aber
> das kann doch eigentlich gar nicht sein.
>
> wisst ihr was ich evtl falsch sehe bzw falsch verstanden
Ja. Sei v [mm] \in \IR^n [/mm] , v [mm] \not=0 [/mm] (v muß nicht normiert sein).
Die definition der Richtungsableitung von f in [mm] x_0 [/mm] in Richtung v ist:
(*) [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}
[/mm]
(falls dieser Limes ex.)
Sei $g(t) := [mm] f(x_0+tv)$. [/mm] Dann siehst Du : der Limes in (*) ist gerade = g'(0).
Nun sei f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar. Dann ist g in t=0 differenzierbar und (Kettenregel !):
$g'(t) = [mm] gradf(x_0+tv)*v$
[/mm]
Somit:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} [/mm] = g'(0) = [mm] gradf(x_0)*v$
[/mm]
FRED
> habe?
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> danke und gruß :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AriR |
danke schonmal für deine hilfe, klingt alles logisch :)
leider sehe ich nur immer noch nicht den fehler bei meiner überlegung :(
die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt wird oder nicht?
also dürfte die richtungsableitung in richtung v nicht anders sein als beispielsweise in richtung 10*v
jedoch gilt [mm] grad(f)*v\not= [/mm] grad(f)*(10*v)
siehst du was ich falsch mache?
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> danke schonmal für deine hilfe, klingt alles logisch :)
>
> leider sehe ich nur immer noch nicht den fehler bei meiner
> überlegung :(
>
> die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das
> selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt
> wird oder nicht?
Nein
>
> also dürfte die richtungsableitung in richtung v nicht
> anders sein als beispielsweise in richtung 10*v
Nein
>
> jedoch gilt [mm]grad(f)*v\not=[/mm] grad(f)*(10*v)
>
>
> siehst du was ich falsch mache?
Das :
"die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das
selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt wird "
Wie kommst Du auf so etwas ?
FRED
>
> gruß :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AriR |
jetzt bin ich total verwirrt :(
wenn ich jetzt zB nochmal auf folgende definition zurückgreife:
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} [/mm] $
hier erkennt man ja auch, dass v mit einem beliebigen skalar multipliziert werden kann und das nicht an der existenz und dem eigentlichen grenzwert ändert oder?
hoffe ich schreibe jetzt nicht zu viel dummes zeug
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> jetzt bin ich total verwirrt :(
>
> wenn ich jetzt zB nochmal auf folgende definition
> zurückgreife:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}[/mm]
>
>
> hier erkennt man ja auch, dass v mit einem beliebigen
> skalar multipliziert werden kann und das nicht an der
> existenz und dem eigentlichen grenzwert ändert oder?
Das ist doch nicht richtig ! Beispiel: f(x,y) = x+y .
1. Wir berechnen den obigen Limes in [mm] x_0=(0,0) [/mm] mit v=(1,1):
[mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{2t}{t}= 2 [/mm]
1. Wir berechnen den obigen Limes in [mm] x_0=(0,0) [/mm] mit v=(2,2):
[mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(2t,2t)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{4t}{t}= 4 [/mm]
FRED
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> hoffe ich schreibe jetzt nicht zu viel dummes zeug
>
> gruß :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 25.09.2009 | | Autor: | AriR |
hmm ja jetzt sehe ich es auch, hat ne weile gedauert, weil ich erst nicht gesehen habe wie das genau zustande kommt.
also wir hatten damals eigentlich immer gefordert, dass v normiert ist, also ||v||=1, was dann in richtungsableitung auch eher der eigentlich ableitung nahe kommt.
wäre es für ein beliebiges v demnach in der definition der richtungsableotung nicht auch "schöner" zu fordern, dass
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||}
[/mm]
existieren muss?
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hmm ja jetzt sehe ich es auch, hat ne weile gedauert, weil
> ich erst nicht gesehen habe wie das genau zustande kommt.
>
> also wir hatten damals eigentlich immer gefordert, dass v
> normiert ist, also ||v||=1,
Ja das wird oft gefordert
> was dann in richtungsableitung
> auch eher der eigentlich ableitung nahe kommt.
Das stimmt aber nicht !
>
> wäre es für ein beliebiges v demnach in der definition
> der richtungsableotung nicht auch "schöner" zu fordern,
> dass
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||}[/mm]
>
> existieren muss?
Bedenke: [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||}[/mm] existiert [mm] \gdw[/mm] [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}[/mm] existiert
FRED
>
>
> gruß :)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:31 Fr 25.09.2009 | | Autor: | AriR |
das ging ja schnell :)
ja mit der äquivalenz hast du natürlich recht, wenn aber noch durch ||v|| geteilt wird, ist es doch genau das selbe spiel mit den sekantensteigungen, bei dem der eine punkt gegen den anderen läuft, was ohne das ||v|| im allgemeinen ja nicht gegeben ist und der grenzwert ist somit "brauchbar", also hat die selben eigenschaften wie ableitungen normaler 1-dim funktionen,
oder vertue ich mich schon wieder? :(
gruß :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Die Größe v ist für den Kurvenverlauf unerheblich, die Richtung eines Vektors ist nur durch die Verhältnisse der Komponenten untereinander bestimmt.
Im simpelsten Beispiel: f(x) = x nach t parametrisiert.
[mm] Df(x)=\vektor{\bruch{dx}{dt}\\\bruch{dy}{dt}}=\vektor{1\\1} [/mm] für v=1
f'(x) =1/1
für v=5 [mm] Df(x)=\vektor{5\\5} [/mm] f'(x) =5/5
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Die Größe v ist für den Kurvenverlauf unerheblich, die
> Richtung eines Vektors ist nur durch die Verhältnisse der
> Komponenten untereinander bestimmt.
> Im simpelsten Beispiel: f(x) = x nach t parametrisiert.
>
> [mm]Df(x)=\vektor{\bruch{dx}{dt}\\\bruch{dy}{dt}}=\vektor{1\\1}[/mm]
> für v=1
> f'(x) =1/1
> für v=5 [mm]Df(x)=\vektor{5\\5}[/mm] f'(x) =5/5
?????????????????
FRED
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
uuupps.. da hab ich die definition falsch angewendet...
das totale Differential ist was anderes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Dann bin ich beruhigt
FRED
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