riccatische dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 18.09.2006 | | Autor: | omikron |
| Aufgabe | zeigen sie, dass es genau eine lösung y : [mm] \IR \to \IR [/mm] der riccatischen dgl
y' = [mm] y^{2} [/mm] - 1 gibt, deren Graph in einer geeigneten beschränkten umgebung von (0,2) [mm] \in [/mm] Graph liegt.
bestimmen sie diese lösung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, ich habe bei dieser dgl die lösungen y=1 oder y=-1 geraten und dann bin ich nach dem verfahren für riccatische dgln vorgegangen, indem alle lösungen durch die lösung von
u' - 2u - [mm] u^{2} [/mm] = 0 mit u(x) = y(x) - z(x) und z(x) = 1 gegeben sind.
leider komme ich mit dieser dgl auf keine richtige lösung und ich weiß auch nicht, wie ich die "geeignete beschränkte umgebung von (0,2) [mm] \in [/mm] Graph" verstehen soll.
hoffe mir kann jemand helfen.
danke, omikron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mo 18.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo omikron,
ich meinerseits habe von Riccati-Dgl so gut wie keine Ahnung, aber [mm]y'=y^2-1[/mm] lässt sich ja auch so prächtig mit Trennung der Variablen lösen:
[mm] $$\int\limits_{y_0}^y [/mm] ~ [mm] \frac{\mathrm{d}y}{y^2-1} [/mm] = [mm] \int\limits_{x_0}^x ~\mathrm{d}x, [/mm] $$
der Anfangswert [mm] $y(x_0)=y_0$ [/mm] ist da bereits eingearbeitet. Natürlich dürfen auf dem Weg von [mm] $y_0$ [/mm] nach $y$ nicht die heiklen Stellen [mm] $\pm [/mm] 1$ übersprungen werden, sonst gibt's Ärger - aber ansonsten läuft alles problemlos ab. 
Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 19.09.2006 | | Autor: | omikron |
danke für deinen tipp,
ich habe es jetzt einmal so probiert und habe:
[mm] \integral{\bruch{dy}{y^2-1}} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{dy}{(y-1)(y+1)}} [/mm] . wie geht man jetzt am besten an dieses integral ran? partiell?
jedenfals kommt da glaube ich
[mm] \bruch{- ln (y+1)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ln (y-1)}{2} [/mm] raus und das muss ja gleich x sein.
wenn ich mir jetzt sicher wäre, dass das integral richtig ist, dann müsste ich jetzt noch an y kommen. nur wie?
danke für die hilfe nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 19.09.2006 | | Autor: | omikron |
danke,
ich erhalte nun
[mm] \bruch{y-1}{y+1}=e^{2(x+C)}
[/mm]
wie löse ich das am besten nach y auf?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo omikron!
Multipliziere diese Gleichung mit $(y+1)_$ und Du erhältst eine lineare Gleichung in $y_$ .
Zur Vereinfachung kannst Du ja zunächst ersetzen bzw. umformen:
$A \ := \ [mm] e^{2*(x+C)} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x+2C} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}*e^{2C} [/mm] \ = \ [mm] C^\star*e^{2x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{y-1}{y+1} [/mm] \ = \ A$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Di 19.09.2006 | | Autor: | omikron |
alles klar, dankeschön!
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Aber auch mit Riccati geht es. Du hast bisher alles richtig gemacht. Du mußt nur weiter machen. Setze
[mm]v = \frac{1}{u} \, , \ \ v' = - \frac{u'}{u^2}[/mm]
Nach Division durch [mm]-u^2[/mm] geht [mm]u' - 2u - u^2 = 0[/mm] über in die lineare Differentialgleichung
[mm]v' + 2v = -1[/mm]
Hast du diese allgemein gelöst, mußt du wieder rückwärts berechnen: erst [mm]u = \frac{1}{v}[/mm], dann [mm]y = u + 1[/mm]
Zur Kontrolle die allgemeine Lösung mit der Konstanten [mm]C[/mm]:
[mm]y = \frac{C + \operatorname{e}^{2x}}{C - \operatorname{e}^{2x}}[/mm]
Und die letzte Bedingung besagt nur, daß du jetzt aus diesen unendlich vielen Lösungen diejenige bestimmen mußt, deren Graph durch den Punkt mit den Koordinaten [mm]x=0, y=2[/mm] geht. Einsetzen dieser Werte gibt aber eine Gleichung für [mm]C[/mm], die sich leicht lösen läßt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Di 19.09.2006 | | Autor: | omikron |
hi, auch dir vielen dank für die schnelle hilfe!
habe es mit deinen tipps weiter versucht und zwar habe ich nach den substitutionen
z'+2z=-1 gelöst und zwar ist die lösung für z'+2z=0 durch z(x)= [mm] C*e^{-2x} [/mm] gegeben.
jetzt variation der konstanten
z(x) = [mm] C(x)*e^{-2x} [/mm] mit C(x) = [mm] \integral {-e^{2x} dx}+D [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}*e^{2x}+D [/mm] , man erhät also doch eigentlich:
z(x) = [mm] ({-\bruch{1}{2}*e^{2x}+D})*e^{-2x} [/mm] und da habe ich ein bißchen probleme, weil das gleich [mm] -\bruch{1}{2}+{D*e^{-2x}} [/mm] ist.
vielleicht kannst du mir nur kurz erläutern wie du auf [mm] y(x)=\bruch{C+e^{2x}}{C-e^{2x}} [/mm] gekommen bist. das mit dem rückeinsetzen vorher ist sonst eigentlich klar und wie ich dann an C=3 komme auch. Mit der Formulierung aus der Aufgabenstellung ist also eigentlich nur das AWP y(0)=2 gemeint, oder?
vielen dank nochmal
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Jetzt müssen wir aufpassen, daß wir mit den Bezeichnungen nicht durcheinander geraten. In deinem ersten Beitrag hattest du [mm]z[/mm] bereits für die spezielle Lösung [mm]z(x) = 1[/mm] vergeben. Daher hatte ich den Buchstaben [mm]v[/mm] für [mm]\frac{1}{u}[/mm] gewählt. Jetzt scheinst du aber dieses [mm]v[/mm] wieder [mm]z[/mm] zu nennen. Ich dagegen bleibe bei den alten Bezeichnungen. Mit dieser Einschränkung zitiere ich dein Ergebnis
[mm]v(x) = - \frac{1}{2} + D \cdot \operatorname{e}^{-2x}[/mm]
([mm]D[/mm] ist übrigens keine besonders glückliche Wahl für eine Konstante, das erinnert irgendwie an "Differential", "differenzieren" oder etwas in der Richtung)
Wie gesagt, mußt du jetzt resubstituieren:
[mm]u(x) = \frac{1}{v(x)}[/mm]
[mm]y(x) = 1 + u(x)[/mm]
Der Rest ist nur Rechnerei: alles auf einen Bruchstrich bringen, mit [mm]2 \operatorname{e}^{2x}[/mm] erweitern, Konstante umbenennen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz ... Auf der rechten Seite entsteht mit Integrationskonstante $x \ [mm] \red{+ C}$ [/mm] !
Logarithmusgesetz