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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 27.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Gegeben sei das restringierte Optimierungsproblem :
P: [mm] $min_{x \in \IR^2}$ $-x_{1}-x_{2}$ [/mm] s.t. [mm] $x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} \leq [/mm] 2$, [mm] $x_{2}^2 \leq x_{1}$, $x_{2} \geq [/mm] 0$
Zu zeigen : P ist ein konvexes Optimierungsproblem. |
Hallo Leute,
Es waere ganz nett wenn ihr mir helfen oder zumindest Tipp geben koennt.
Ich bin der Meinung, dass P kein konvexes Optimierungsproblem ist.
Hier ist der Nachweis:
Um ein Optimierungsproblem konvex zu zeigen, muss man die Funktion und Nebenbedingungen konvex zeigen kann.
Also, sei [mm] $f(x)=-x_{1}-x_{2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\nabla f(x)=\pmat{ -x_{2}-1 \\ -x_{1}-1 } [/mm] $ und [mm] $D^2 [/mm] f(x) = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }$
[/mm]
Jetzt sucht man die Eigenwerte von [mm] $D^2 [/mm] f(x)$.
[mm] $det(D^2 [/mm] f(x) - [mm] \lambda [/mm] I) = det [mm] \pmat{ -\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda } [/mm] = 0$ , daraus folgt dass [mm] $\lambda_{1} [/mm] = 1$ und [mm] $\lambda_{2}=-1$.
[/mm]
Da ein EW kleiner als Null ist, dann ist f(x) nicht konvex. So ist P auch nicht konvex.
Ist meine Meinung richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Gegeben sei das restringierte Optimierungsproblem :
>
> P: [mm]min_{x \in \IR^2}[/mm] [mm]-x_{1}-x_{2}[/mm] s.t. [mm]x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 2[/mm],
> [mm]x_{2}^2 \leq x_{1}[/mm], [mm]x_{2} \geq 0[/mm]
>
> Zu zeigen : P ist ein konvexes Optimierungsproblem.
> Hallo Leute,
>
> Es waere ganz nett wenn ihr mir helfen oder zumindest Tipp
> geben koennt.
>
> Ich bin der Meinung, dass P kein konvexes
> Optimierungsproblem ist.
> Hier ist der Nachweis:
>
> Um ein Optimierungsproblem konvex zu zeigen, muss man die
> Funktion und Nebenbedingungen konvex zeigen kann.
>
> Also, sei [mm]f(x)=-x_{1}-x_{2}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\nabla f(x)=\pmat{ -x_{2}-1 \\ -x_{1}-1 }[/mm] und [mm]D^2 f(x) = \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
Deine Ableitung ist falsch! Es ist [mm] $\nabla [/mm] f(x) = [mm] \vektor{-1 \\ -1}$. [/mm] Aber das brauchst du gar nicht, denn die Konvexität von f ist leicht mit der Definition zu zeigen: f konvex [mm] $:\Leftrightarrow\ f(tx+(1-t)y)\leq [/mm] tf(x)+(1-t)f(y)$.
>
> Jetzt sucht man die Eigenwerte von [mm]D^2 f(x)[/mm].
>
> [mm]det(D^2 f(x) - \lambda I) = det \pmat{ -\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda } = 0[/mm]
> , daraus folgt dass [mm]\lambda_{1} = 1[/mm] und [mm]\lambda_{2}=-1[/mm].
>
> Da ein EW kleiner als Null ist, dann ist f(x) nicht konvex.
> So ist P auch nicht konvex.
>
> Ist meine Meinung richtig?
Nach meiner Rechnung ist f konvex. Also musst du noch prüfen, ob die Nebenbedingungen konvex sind. Sollte ich mich nicht verrechnet haben, ist P konvex.
Gruß, zetamy
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