restklassenring < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Zeige, dass für Z/pZ gilt:
[mm] (x+y)^p=x^p+y^p [/mm] |
wie geht man mit dem restklassenring in diesem fall um?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeige, dass für Z/pZ gilt:
> [mm](x+y)^p=x^p+y^p[/mm]
> wie geht man mit dem restklassenring in diesem fall um?
Hallo,
ich würde [mm] (x+y)^p [/mm] erstmal mit dem binomischen Satz auf den Pelz rücken und anschließend über die Binomialkoeffizienten nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Wenn man nach dem binomischen Satz geht, dann werden die einzelnen Koeffizienten ja immer mit [mm] \vektor{p \\ k} [/mm] multipliziert. Ich dachte zuerst, dass die mittleren dann wegfallen, weil im Fall von 3 werden die mittleren ja mit 3 multipliziert und bei 2 dasselbe. Bei 4 hört das jedoch schon wieder auf, weil eine 6 in der Mitte steht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Aber 4 ist auch keine Primzahl! Forsch mal weiter.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Stimmt, daran habe ich nicht gedacht. Also sind zwischen dem letzten und dem ersten Summanden in jedem Fall Vielfache von p. Und das liegt daran, dass [mm] \vektor{p \\ k} [/mm] immer ein Vielfaches von p ist, außer bei k=0 und k=p.
Aber womit beweise ich das?
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Aus der Definition der Binomialkoeffizienten.
Das p wird nur für die ersten beiden herausgekürzt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Was heißt das genau?
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[mm] \vektor{p \\ k}=\bruch{p!}{k!(p-k)!}=\bruch{p(p-1)!}{k!(p-k)!}
[/mm]
Welche Bedingung muss k erfüllen, damit p sich "wegkürzt"?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 27.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Setzt man 0 ein für k, so könnte man p kürzen, oder?
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genau. Nur für k=0 und k=p kann p gekürzt werden. Alle anderen Binomialkoeffizienten dazwischen sind also durch p teilbar!
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