relative Konsistenz ZFC/ZF < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 02.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
eine Frage in einem anderen Thread hat mich auf folgendes Problem gestoßen:
Soweit ich das verstanden habe, beweist Gödel die relative Konsistenz von ZFC zu der von ZF mittels Modellbetrachtungen: Er konstruiert ausgehend von einem Modell von ZF eines von ZFC.
Dieses Vorgehen erscheint zunächst gerechtfertigt, denn gemäß dem Gödelschen Vollständigkeitssatz ist Konsistenz gleichbedeutend mit der Existenz eines Modells.
Aber: Der mir bekannte Beweis dieses Vollständigkeitssatzes (Henkin-Konstruktion) benutzt selber eine Mengenlehre mit Auswahlaxiom! Im Grunde ist doch damit nur gezeigt, dass aus ZFC die Äquivalenz von Konsistenz und Existenz von Modellen folgt, oder?
Gödel hätte doch dann nur gezeigt, dass aus ZFC die relative Konsistenz von ZFC zu der von ZF folgt! Es wäre also gar nicht ausgeschlossen, dass ZF konsistent und ZFC inkonsistent wäre. Aber Gödel behauptet doch das Gegenteil?!
Kann irgendjemand etwas zur Auflösung beitragen? Wo ist mein Fehler? Danke!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Di 02.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> eine Frage in einem anderen Thread hat mich auf folgendes
> Problem gestoßen:
>
> Soweit ich das verstanden habe, beweist Gödel die relative
> Konsistenz von ZFC zu der von ZF mittels
> Modellbetrachtungen: Er konstruiert ausgehend von einem
> Modell von ZF eines von ZFC.
>
> Dieses Vorgehen erscheint zunächst gerechtfertigt, denn
> gemäß dem Gödelschen Vollständigkeitssatz ist
> Konsistenz gleichbedeutend mit der Existenz eines Modells.
>
> Aber: Der mir bekannte Beweis dieses
> Vollständigkeitssatzes (Henkin-Konstruktion) benutzt
> selber eine Mengenlehre mit Auswahlaxiom! Im Grunde ist
> doch damit nur gezeigt, dass aus ZFC die Äquivalenz von
> Konsistenz und Existenz von Modellen folgt, oder?
ich kenn mich damit nicht wirklich aus, aber kann es sein dass es ein abzaehlbares Auswahlaxiom benutzt? Also wenn die Indexmenge abzaehlbar ist und nicht beliebig? Oder sogar endlich?
Vielleicht hilft dir das weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mi 03.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix,
> ich kenn mich damit nicht wirklich aus, aber kann es sein
> dass es ein abzaehlbares Auswahlaxiom benutzt? Also wenn
> die Indexmenge abzaehlbar ist und nicht beliebig? Oder
> sogar endlich?
>
> Vielleicht hilft dir das weiter...
Riesiges Dankeschön! Das war der Schlüssel zur Klärung dieser Frage!
Tatsächlich wird das Auswahlaxiom für einen Beweis des Vollständigkeitssatzes im Spezialfall einer abzählbaren Sprache (und die Sprache der Mengenlehre, in der ZFC formuliert ist, enthält ja nur das Prädikat [mm] $\in$) [/mm] nicht benötigt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mi 03.03.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Tobias,
> > ich kenn mich damit nicht wirklich aus, aber kann es sein
> > dass es ein abzaehlbares Auswahlaxiom benutzt? Also wenn
> > die Indexmenge abzaehlbar ist und nicht beliebig? Oder
> > sogar endlich?
> >
> > Vielleicht hilft dir das weiter...
>
> Riesiges Dankeschön! Das war der Schlüssel zur Klärung
> dieser Frage!
das freut mich :)
Ich hab die Frage dann mal auf beantwortet gestellt...
LG Felix
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