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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:03 Mi 13.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm] M\subseteq [/mm] X Teilmenge mit induzierter Metrik.
Zu zeigen:
[mm] K\subseteq [/mm] M kompakt relativ M [mm] \Leftrightarrow [/mm] K kompakt relativ X
[Dies ist eine Teilaufgabe einer längeren Aufgabe; die anderen Teilaufgaben habe ich aber schon fertig bewiesen und man braucht keine davon für diese Teilaufgabe, daher lasse ich die mal weg.] |
Also meine Idee ist jetzt, folgende Wiki-Aussage zu benutzen:
Eine Teilmenge K eines metrischen Raums X ist relativ kompakt genau dann, wenn jede Folge in K eine Teilmenge hat, die in X konvergent ist.
Für meine Aufgabe habe ich das so angewandt:
[mm] \Rightarrow:
[/mm]
Sei K kompakt relativ M. Dann hat jede Folge in K eine in M konvergente Teilfolge. Da M Teilmenge von X ist, kann man ebenso sagen: Jede Folge in K hat eine in X konvergente Teilfolge. Also ist K kompakt relativ X.
[mm] \Leftarrow: [/mm] Sei K kompakt relativ X. Dann hat ja nach Obigem jede Folge in K eine in X konvergente Teilfolge.
Angenommen K ist nicht kompakt relativ [mm] M\subseteq [/mm] X.
Dann gilt ja nicht, dass jede Folge in K eine in M konvergente Teilfolge hat.
Aber das ist doch ein Widerspruch zu der Annahme, dass K kompakt relativ X ist.
Kann man das so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 15.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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