rekursive folge /monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ums nochmal ausführlicher zu formulieren:
Es geht um die Folge
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n}
[/mm]
Um zu zeigen, das die Folge monoton steigend ist (Vermutung) muss ich zeigen das
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] >= 0
[mm] a_{n+1}-a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}} [/mm] - [mm] \bruch{a_{n}(7+a_{n})}{7+a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch {6+6a_{n}-7a_{n}-a_{n}²}{7+a{n}} [/mm] = [mm] \bruch{-a_{n}²-a{n}+6}{7+a{n}}
[/mm]
Wie führe ich den Beweis zu Ende? Beim Einsetzen von zb. [mm] a_{1} [/mm] = 1,5 sehe ich das der Ausdruck positiv ist.
|
|
| |
|
Hallo Xenos.,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ums nochmal ausführlicher zu formulieren:
>
> Es geht um die Folge
>
> [mm]a_{0}=1[/mm]
>
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n}[/mm]
>
> Um zu zeigen, das die Folge monoton steigend ist
> (Vermutung) muss ich zeigen das
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] >= 0
>
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}[/mm] -
> [mm]\bruch{a_{n}(7+a_{n})}{7+a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch {6+6a_{n}-7a_{n}-a_{n}²}{7+a{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-a_{n}²-a{n}+6}{7+a{n}}[/mm]
>
> Wie führe ich den Beweis zu Ende? Beim Einsetzen von zb.
> [mm]a_{1}[/mm] = 1,5 sehe ich das der Ausdruck positiv ist.
Untersuche jetzt, wann [mm]-a_{n}²-a{n}+6 >= 0[/mm] ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
als quadratische ungleichung betrachtet kommt raus:
[mm] -a_{n}²-a{n}+6 [/mm] >= 0
für -3<=an<=2
an [mm] \in [/mm] [-3,2]
wenn also [mm] a_{n} [/mm] in diesem intervall bleibt ist es positiv...
|
|
|
| |
|
Hallo Xenos.,
> als quadratische ungleichung betrachtet kommt raus:
>
> [mm]-a_{n}²-a{n}+6[/mm] >= 0
>
> für -3<=an<=2
> an [mm]\in[/mm] [-3,2]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn also [mm]a_{n}[/mm] in diesem intervall bleibt ist es
> positiv...
>
Daraus folgt nun, daß ...
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
[mm] a_{n} [/mm] >= 1 wegen [mm] a_{0}= [/mm] 1
aber muss ich den grenzwert (=2) erst beweisen um die monotonie beweisen zu können?
entschuldigung ist ein neues gebiet für mich.
|
|
|
| |
|
Hallo Xenos.,
> [mm]a_{n}[/mm] >= 1 wegen [mm]a_{0}=[/mm] 1
>
> aber muss ich den grenzwert (=2) erst beweisen um die
> monotonie beweisen zu können?
Um die Monotonie zu beweisen brauchst Du keinen Grenzwert.
>
> entschuldigung ist ein neues gebiet für mich.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Ich weiß damit wann [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] positiv ist aber ich habe noch nicht bewiesen das [mm] -3<=a_{n}<=2 [/mm] gilt. wie komme ich jetzt zum abschließenden beweis? (ohne grenzwert)
;_)
|
|
|
| |
|
Hallo Xenos.,
> Ich weiß damit wann [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] positiv ist aber ich
> habe noch nicht bewiesen das [mm]-3<=a_{n}<=2[/mm] gilt. wie komme
> ich jetzt zum abschließenden beweis? (ohne grenzwert)
Nun [mm]a_{n}[/mm] ist sicher größer als -3, da [mm]a_{0}=1[/mm].
Zeige daß, [mm]a_{n}=2[/mm] wieder auf 2 abgebildet wird.
>
> ;_)
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Di 10.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann das bitte jemand anschauen, ob das richtig ist?
Ich habe die Beschränktheit, Monotonie (-> Konvergenz) und den Grenzwert der Folge bestimmt:
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n}
[/mm]
Folgenglieder:
[mm] a_{1}= \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] a_{2}= \bruch{30}{17}
[/mm]
Daraus ergibt sich der Verdacht [mm] a_{n}\le [/mm] 2
Beschränktheit:
--------------------
Beweis durch Induktion:
Annahme:
[mm] a_{n}\le [/mm] 2
Induktionsanfang:
[mm] a_{0}=1\le2
[/mm]
[mm] a_{1}= \bruch {3}{2}\le [/mm] 2
=> Induktionsanfang gilt
Induktionsschritt:
[mm] a_{n+1} \le [/mm] 2
[mm] a_{n+1}-2 [/mm] = [mm] \bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}-2=\bruch{6+6a_{n}-2(7+a_{n})}{7+a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{4a_{n}-8}{7+a{n}}\le [/mm] 0
[mm] 7+a_{n} \ge [/mm] 0 nach Induktionsvoraussetzung
[mm] \Rightarrow 4a_{n}-8 \le [/mm] 0
[mm] 4a_{n} \le [/mm] 8
[mm] a_{n} \le [/mm] 2 (Behauptung)
[mm] \Rightarrow [/mm] mit dem Prinzip der Induktion folgt, dass [mm] a_{n}\le [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Monotonie:
--------------
Es gilt: [mm] a_{n}\le [/mm] 2
Beweis monoton steigend:
[mm] a_{n+1} \ge a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n} \le \bruch{18}{2} [/mm] = 2 [mm] \ge a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n+1} \ge a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] ist monoton steigend und beschränkt und konvergiert gegen a.
Grenzwert:
--------------
a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}) [/mm] = [mm] \bruch{6+6a}{7+a}
[/mm]
7a + a² = 6+6a
a²+a-6= 0
Lösung a = 2 (-3 keine Lösung)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Kann das bitte jemand anschauen, ob das richtig ist?
>
> Ich habe die Beschränktheit, Monotonie (-> Konvergenz) und
> den Grenzwert der Folge bestimmt:
>
>
> [mm]a_{0}=1[/mm]
>
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n}[/mm]
>
> Folgenglieder:
> [mm]a_{1}= \bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{2}= \bruch{30}{17}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich der Verdacht [mm]a_{n}\le[/mm] 2
>
> Beschränktheit:
> --------------------
>
> Beweis durch Induktion:
>
> Annahme:
> [mm]a_{n}\le[/mm] 2
> Induktionsanfang:
> [mm]a_{0}=1\le2[/mm]
>
> [mm]a_{1}= \bruch {3}{2}\le[/mm] 2
> => Induktionsanfang gilt
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]a_{n+1} \le[/mm] 2
>
>
> [mm]a_{n+1}-2[/mm] =
> [mm]\bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}-2=\bruch{6+6a_{n}-2(7+a_{n})}{7+a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{4a_{n}-8}{7+a{n}}\le[/mm] 0
Hallo, hie wird es mathematisch sehr unsauber, weil du die unbewiesene Behauptung mit hineinwürgst.
Besser ist:
[mm]\bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}-2=\bruch{6+6a_{n}-2(7+a_{n})}{7+a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{4a_{n}-8}{7+a{n}}[/mm]
Punkt.
Was du oben als "Annahme" geschrieben hast, ist deine Induktionsvoraussetzung.
Aus der Induktionsvoraussetzung [mm]a_{n}\le[/mm] 2 folgt [mm] 4a_n [/mm] -8 [mm] \le [/mm] 0.
>
> [mm]7+a_{n} \ge[/mm] 0 nach Induktionsvoraussetzung
Damit gilt [mm]\bruch{4a_{n}-8}{7+a{n}}\le 0[/mm] , also
[mm]a_{n+1}-2 = \bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}}-2=\bruch{6+6a_{n}-2(7+a_{n})}{7+a_{n}}=\bruch{4a_{n}-8}{7+a{n}}\le[/mm] 0.
Damit erhältst du die Induktionsbehauptung [mm] a_{n+1}\le [/mm] 2.
Gruß Abakus
>
> [mm]\Rightarrow 4a_{n}-8 \le[/mm] 0
> [mm]4a_{n} \le[/mm] 8
> [mm]a_{n} \le[/mm] 2 (Behauptung)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] mit dem Prinzip der Induktion folgt, dass
> [mm]a_{n}\le[/mm] 2 für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Monotonie:
> --------------
> Es gilt: [mm]a_{n}\le[/mm] 2
>
> Beweis monoton steigend:
>
> [mm]a_{n+1} \ge a_{n}[/mm]
>
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{6(1+a_n) }{7+a_n} \le \bruch{18}{2}[/mm] = 2 [mm]\ge a_{n}[/mm]
Tippfehler oder Unfug?
Forme den Term [mm]a_{n+1} - a_{n}=\bruch{6(1+a_n) }{7+a_n}-a_n[/mm] so lange um, bis du nachweisen kannst, dass er größer als 0 ist. Dieser Hinweis kam im Thread wohl schon mindestens einmal...
Gruß Abakus
>
> [mm]\Rightarrow a_{n+1} \ge a_{n}[/mm]
>
> [mm]a_{n}[/mm] ist monoton steigend und beschränkt und konvergiert
> gegen a.
>
> Grenzwert:
> --------------
>
> a = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{6(1+a_{n})}{7+a_{n}})[/mm]
> = [mm]\bruch{6+6a}{7+a}[/mm]
>
> 7a + a² = 6+6a
> a²+a-6= 0
>
> Lösung a = 2 (-3 keine Lösung)
>
|
|
|
|
