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Hallo!
Ich soll zeigen, dass die Folge [mm] x_{k+1}:=2x_{k}-ax_{k}^{2} [/mm] mit a>0 für alle Startwerte x _{0} [mm] \in [/mm] (0,2/a) gegen [mm] x^{*} [/mm] :=1/a konvergiert. Muss dabei doch einerseits zeigen, dass das [mm] x^{*} [/mm] Fixpunkt auf dem oben angegebenen Intervall ist für [mm] f(x)=2x-ax^{2} [/mm] und dass die Folge monoton steigend und beschränkt ist. Weiß aber nicht wie ich jetzt anfangen soll!
Wäre nett wenn mir jemand helfen kann.
MfG
Frankyboy1980
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also z.z. dass x Fixpunkt ist, sollte ja nicht so schwer sein: Wenn x ein FP ist, dann gilt ja f(x) = x, nun betrachte [mm] f(\bruch{1}{a}) [/mm] und forme um.
Dass die Folge monoton steigend ist, heisst ja nichts anderes, dass [mm] x_{k+1} \ge x_k [/mm] ist, wenn du für [mm] x_{k+1} [/mm] die Definition einsetzt, steht da:
z.z. [mm]2x_k - ax_k^2 \ge x_k [/mm]
Dies formst du nun um und schaust, für welche [mm] x_k [/mm] das so gilt. (Da wird garantiert ne Frage deinerseits auftauchen, die du dann gerne hier stellen kannst  Also nicht wundern, wenn da erstmal was raus kommst, was du nicht so toll findest, aber dafür gibts auch ne Lösung )
Dass die Folge beschränkt ist, lässt sich ganz einfach zeigen, da du eine wachsende Folge hast, musst du also eine OBERE Schranke zeigen:
[mm]x_{k+1} = 2x_k - ax_k^2 \le 2x_k \le 2 \bruch{2}{a} = \bruch{4}{a}[/mm]
Warum man das so abschätzen kann, solltest du dir selbst überlegen.
MfG,
Gono.
Ergo beschränkt durch eine obere Schranke.
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