rekursiv def Folge Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Di 03.11.2009 | | Autor: | veget |
| Aufgabe | Die reele Folge a: [mm] \IN \to \IR [/mm] sei rekursiv gegeben durch
[mm] a_{0}:=3, a_{n+1}:=\bruch{1}{2}\left( a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} \right), [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 1)
Zeigen Sie, dass a konvergiert und bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] |
Hallo! Ich bin neu hier und möchte mich schon mal im Voraus bedanken für das tolle Forum.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun zu meinem kleinen Problem hier, mein Ansatz ist folgender:
Beschränkte monotone Folgen sind konvergent. Also zeige ich das die Folge monoton ist, dass sie beschränkt ist und kann dann den Grenzwert ganz einfach ausrechnen indem ich sage, wenn die Folge konvergent ist, so gilt für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] dass [mm] a_{n+1}=a_{n} [/mm] ist. Das funktioniert auch wunderbar und ich erhalte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Meine Frage zur oben gestellten Aufgabe ist jetzt folgende: Wie zeige ich das die Folge monoton fallend ist?
Mein Ansatz dazu ist nun, dass wenn [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend ist, so gilt [mm] a_{n+1} \le a_{n}
[/mm]
Setze ich nun ein und forme die Ungleichung um so komm ich auf
[mm] a_{n}^{2} \ge [/mm] 5
nur ist das nichts brauchbares, da ich nicht bestimmen kann ob [mm] a_{n}^{2} [/mm] immer größergleich 5 ist, weil ich ja noch nicht gezeigt habe das die Folge monoton ist und ich daher ja noch nicht weiß das das der Grenzwert ist.
Ich steh da irgenwie auf der Leitung, bitte um Hilfe, danke
Martin
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Di 03.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo und willkommen!
Ich hab jetzt auch noch keinen richtigen Plan, aber wie wäre es mit vollständiger Induktion? Kommt man damit vielleicht weiter?
Viel Erfolg noch,
pi-roland.
|
|
|
| |
|
> Die reele Folge a: [mm]\IN \to \IR[/mm] sei rekursiv gegeben durch
> [mm]a_{0}:=3, a_{n+1}:=\bruch{1}{2}\left( a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} \right),[/mm]
> (n [mm]\ge[/mm] 1)
> Zeigen Sie, dass a konvergiert und bestimmen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dein Plan klingt recht brauchbar.
> da ich nicht bestimmen kann
> ob [mm]a_{n}^{2}[/mm] immer größergleich 5 ist,
Dies scheint das akute Problem zu sein im Moment.
Du bekommst das ziemlich leicht.
Ich rechne vor, daß [mm] a_{n+1}^2-5\ge [/mm] 0.
[mm] a_{n+1}^2-5= \bruch{1}{4}\left( a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} \right)^2 [/mm] - 5
[mm] =\bruch{1}{4}\left( a_{n}^2+10 +\bruch{25}{a_{n}^2} - 20 \right) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}\left( a_{n}-\bruch{5}{a_{n}} \right)^2 \ge [/mm] 0.
Ich hoffe, es nützt, und Du kommst weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
