reguläre,singuläre Lsg. Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie die singulären und die regulären Lösungen der D fferentialgleichungen (Nachweis von Singularität bzw. Regularität)
[mm] y^2((y')^2+1) [/mm] = 1
(b) Lösen sie die Dgl. indem Sie y' als Parameter nehmen. Entscheiden Sie ob es singuläre Lösungen gibt, geben Sie diese ggf. an:
(i) [mm] (y')^4=2yy'+y^2
[/mm]
(ii) 2xy'-y=ln(y') |
Hallo,
ich hab nachgeschlagen was singuläre(reguläre) Lösungen sind, leider weiß ich wieder nicht, wie ich anfangen muss.
Wäre nett, wenn mir da Jemand einen Tipp geben könnte.
Und bei (b) hab ich keine Ahnung wie der ich y' als Paramter verwenden soll?
Grüße
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Hallo Leipziger,
> (a) Bestimmen Sie die singulären und die regulären
> Lösungen der D fferentialgleichungen (Nachweis von
> Singularität bzw. Regularität)
> [mm]y^2((y')^2+1)[/mm] = 1
>
> (b) Lösen sie die Dgl. indem Sie y' als Parameter nehmen.
> Entscheiden Sie ob es singuläre Lösungen gibt, geben Sie
> diese ggf. an:
> (i) [mm](y')^4=2yy'+y^2[/mm]
> (ii) 2xy'-y=ln(y')
> Hallo,
>
> ich hab nachgeschlagen was singuläre(reguläre) Lösungen
> sind, leider weiß ich wieder nicht, wie ich anfangen
> muss.
> Wäre nett, wenn mir da Jemand einen Tipp geben könnte.
Singuläre Lösungen einer DGL sind Lösungen,
die nicht aus der allgemeinen Lösung einer DGL hervorgehen.
>
> Und bei (b) hab ich keine Ahnung wie der ich y' als
> Paramter verwenden soll?
Nun, dann hast Du hier [mm]F\left( \ x\left(p\right), \ y\left(p\right), \ p \ \right)=0[/mm]
Durch Differentiation dieser Gleichung kannst Du
die Lösungskurven [mm]x\left(p\right), \ y\left(p\right)[/mm] ermitteln.
Beachte hierbei, daß
[mm]\dot{y}\left(p\right)=p*\dot{x}\left(p\right)[/mm]
gilt.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 29.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Als singuläre Lösung erhält man bei a) vermutlich y = 1 bzw. y = -1, aber wie zeige ich jetzt, dass diese auch singulär sind?
Genauso die reguläre Lösung: [mm] y^2+(x-C)^2 [/mm] = 1
Wie zeige ich, dass diese regulär ist?
Bei b) ii) handelt es sich laut wikipedia um eine d´Alembert-DGL.
Wenn ich wie angegeben vorgehe, erhalte ich folgendes Zwischenergebnis
$ x(p)' = (2*x(p)+1/p)/-p $
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Hallo Leipziger,
> Als singuläre Lösung erhält man bei a) vermutlich y = 1
> bzw. y = -1, aber wie zeige ich jetzt, dass diese auch
> singulär sind?
>
> Genauso die reguläre Lösung: [mm]y^2+(x-C)^2[/mm] = 1
> Wie zeige ich, dass diese regulär ist?
Es gibt ein paar Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
damit eine singuläre Lösung vorliegt.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Bestimmung singulärer Lösungen
>
> Bei b) ii) handelt es sich laut wikipedia um eine
> d´Alembert-DGL.
> Wenn ich wie angegeben vorgehe, erhalte ich folgendes
> Zwischenergebnis
> x' = (2*x+1/p)/-p
Das ist jetzt eine DGL für die Funktion [mm]x\left(p\right)[/mm].
Nach meiner Rechnung lautet diese DGL:
[mm]x'=\bruch{1/p-2x}{p}[/mm]
Gruss
MathePower
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