reguläre Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 So 04.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ich habe hier eine Folie von meinem Prof, bei der ich beim besten Willen nicht verstehe, was er einem damit sagen will.
Mit dem GaußAlgorithmus kann man insbesondere überprüfen, ob eine gegebene (n × n)Matrix A regulär ist, d. h. ob ihr Rang gleich n ist.
Dazu formt man A in eine obere Dreiecksmatrix A* um. Wenn alle Diagonalelemente nicht null sind, ist rang (A*) = rang (A) = n.
Ist dies der Fall, so gibt es auch eine Inverse A^−1, d.h. eine(n x n)Matrix A^-1 mit A * A^-1 = [mm] E_n.
[/mm]
Natürlich ist der j-te Spaltenvektor von A^−1 eine (die) Lösung der Gleichung A · x = [mm] e_j [/mm] .
Also kann man A^−1 mit dem GaußAlgorithmus bestimmen.
Da A regulär ist braucht man dabei keine Spaltenvertauschungen.
Hilfe :(
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich habe hier eine Folie von meinem Prof, bei der ich beim
> besten Willen nicht verstehe, was er einem damit sagen
> will.
>
> Mit dem GaußAlgorithmus kann man insbesondere überprüfen,
> ob eine gegebene (n × n)Matrix A regulär ist, d. h. ob ihr
> Rang gleich n ist.
>
> Dazu formt man A in eine obere Dreiecksmatrix A* um. Wenn
> alle Diagonalelemente nicht null sind, ist rang (A*) = rang
> (A) = n.
> Ist dies der Fall, so gibt es auch eine Inverse
> A^−1, d.h. eine(n x n)Matrix A^-1 mit A * A^-1 =
> [mm]E_n.[/mm]
>
> Natürlich ist der j-te Spaltenvektor von A^−1 eine
> (die) Lösung der Gleichung A · x = [mm]e_j[/mm] .
>
> Also kann man A^−1 mit dem GaußAlgorithmus
> bestimmen.
> Da A regulär ist braucht man dabei keine
> Spaltenvertauschungen.
>
>
> Hilfe :(
Hallo,
leider hast Du vergessen zu erwähnen, was Du an welcher Stelle nicht verstehst.
Wo genau liegt das Problem, das müßte man ja wissen, wenn man Dir helen möchte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay, die 2 aktuellen Fragen von mir überschneiden sich leicht sehe ich gerade, daher stelle ich nochmal konkrete (neue) Fragen dazu:
Mir ist noch schleierhaft:
> Dazu formt man A in eine obere Dreiecksmatrix A* um. Wenn
> alle Diagonalelemente nicht null sind, ist rang (A*) = rang
> (A) = n.
> Ist dies der Fall, so gibt es auch eine Inverse
> A^−1, d.h. eine(n x n)Matrix A^-1 mit A * A^-1 =
>
>
> Natürlich ist der j-te Spaltenvektor von A^−1 eine
> (die) Lösung der Gleichung A · x = .
>
> Also kann man A^−1 mit dem GaußAlgorithmus
> bestimmen.
> Da A regulär ist braucht man dabei keine
> Spaltenvertauschungen.
Was haben die Diagonalelemente mit dem Rang zu tun?
Und: Der Rang ist doch alles, was keine Nullzeile ist, oder nicht?
Eine andere Frage stelle ich nochmal gesondert.
|
|
|
| |
|
> Was haben die Diagonalelemente mit dem Rang zu tun?
Wenn jetzt ein Diagonalelement 0 ist hast du eine Nullzeile, d.h. der Rang ist kleiner n. Somit ist auch die Determinante gleich 0 (z.B. Entwicklung nach der Nullzeile) -> singuläre Matrix, die nicht invertierbar ist.
>
> Und: Der Rang ist doch alles, was keine Nullzeile ist, oder
> nicht?
>
> Eine andere Frage stelle ich nochmal gesondert.
|
|
|
|
