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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 27.12.2008 | | Autor: | InoX |
| Aufgabe | Eine (parametrisierte) reguläre Kurve ist eine Immersion [mm] \gamma: (a,b)\rightarrow \IR^n [/mm]. Man entscheide, ob reguläre Kurven vorliegen.
[mm] \gamma: (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow\IR^2,~\gamma(t)=sin 2t(cos t, sin t) [/mm] |
Bei mir scheiderts daran zu zeigen, ob das [mm] D\gamma(t) [/mm] injektiv ist. Ich habe den Graph von Mathlab zeichnen lassen danach müsste es injektiv sein. Doch wie zeige ich es ?
Es gilt ja
[mm] D\gamma(t)=(-4 cos t+6 cos^3 t, 4 sin t-6 sin^3 t)=2 cos 2t(cos t, sin t)+ sin 2t (-sin t, cos t) [/mm]
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Sa 27.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Martin!
> Eine (parametrisierte) reguläre Kurve ist eine Immersion
> [mm]\gamma: (a,b)\rightarrow \IR^n [/mm]. Man entscheide, ob
> reguläre Kurven vorliegen.
>
> [mm]\gamma: (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow\IR^2,~\gamma(t)=sin 2t(cos t, sin t)[/mm]
>
> Bei mir scheiderts daran zu zeigen, ob das [mm]D\gamma(t)[/mm]
> injektiv ist. Ich habe den Graph von Mathlab zeichnen
> lassen danach müsste es injektiv sein. Doch wie zeige ich
> es ?
>
> Es gilt ja
>
> [mm]D\gamma(t)=(-4 cos t+6 cos^3 t, 4 sin t-6 sin^3 t)=2 cos 2t(cos t, sin t)+ sin 2t (-sin t, cos t)[/mm]
Die Injektivität von [mm] $\gamma$ [/mm] kannst du einfach zeigen: Wenn es zwei Werte [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$ [/mm] gibt, sodass [mm] $\gamma(t_1) =\gamma(t_2)$ [/mm] ist, so folgt durch Division der beiden Komponenten sofort [mm] $\tan t_1 [/mm] = [mm] \tan t_2$, [/mm] und der Tangens ist in vorgegebenen Intervall [mm] $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ [/mm] definiert, stetig und injektiv.
Eigentlich müsste das reichen, denn [mm] $D\gamma(t)$ [/mm] ist für jedes feste t als lineare Abbildung injektiv.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 27.12.2008 | | Autor: | InoX |
Hallo Rainer,
Danke erstmal für die Antwort.
Also ich habe es jetzt probiert und komme auf folgende beiden Gleichungen:
[mm] \alpha)~ 2 cos(2t_1) cos(t_1)-sin(2t_1) sin (t_1)=2 cos(2t_2) cos(t_2)-sin(2t_2) sin (t_2) [/mm]
[mm] \beta)~ 2 cos(2t_1) sin(t_1)-sin(2t_1) cos (t_1)=2 cos(2t_2) sin(t_2)-sin(2t_2) cos (t_2) [/mm]
Wenn ich die jedoch nun dividiere, sehe ich noch nicht wie ich auf den tan schließen soll.
Gruß,
Martin
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Hallo InoX,
> Hallo Rainer,
> Danke erstmal für die Antwort.
> Also ich habe es jetzt probiert und komme auf folgende
> beiden Gleichungen:
>
> [mm]\alpha)~ 2 cos(2t_1) cos(t_1)-sin(2t_1) sin (t_1)=2 cos(2t_2) cos(t_2)-sin(2t_2) sin (t_2)[/mm]
>
> [mm]\beta)~ 2 cos(2t_1) sin(t_1)-sin(2t_1) cos (t_1)=2 cos(2t_2) sin(t_2)-sin(2t_2) cos (t_2)[/mm]
>
> Wenn ich die jedoch nun dividiere, sehe ich noch nicht wie
> ich auf den tan schließen soll.
Hier soll man ja, die Kurve [mm]\gamma\left(t\right)[/mm] betrachten und nicht
deren Ableitung.
>
> Gruß,
> Martin
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 27.12.2008 | | Autor: | InoX |
Hallo,
aber eine eine Kurve heißt doch Immersion, falls [mm] D\gamma(t) [/mm] für alle [mm] t [/mm] aus dem oben stehenden Intervall injektiv ist, was ich zeigen soll.
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Hallo InoX,
> Hallo,
> aber eine eine Kurve heißt doch Immersion, falls
> [mm]D\gamma(t)[/mm] für alle [mm]t[/mm] aus dem oben stehenden Intervall
> injektiv ist, was ich zeigen soll.
Zu zeigen ist:
[mm]D\gamma\left(t_{1}\right)=D\gamma\left(t_{2}\right) \Rightarrow t_{1}=t_{2}[/mm]
Da [mm]D\gamma\left(t_{1}\right)=D\gamma\left(t_{2}\right)[/mm] gilt auch
[mm]\vmat{D\gamma\left(t_{1}\right)}=\vmat{D\gamma\left(t_{2}\right)}[/mm]
Hieraus bekommst Du Bedingungen, die für [mm]t_{1}, t_{2}[/mm] gelten müssen.
Die weiteren Untersuchungen führst Du dann mit [mm]D\gamma[/mm] durch.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Sa 27.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> aber eine eine Kurve heißt doch Immersion, falls
> [mm]D\gamma(t)[/mm] für alle [mm]t[/mm] aus dem oben stehenden Intervall
> injektiv ist, was ich zeigen soll.
Du sollst nicht zeigen, dass [mm]D\gamma(t)[/mm] als Funktion von t injektiv ist, sondern dass für jedes feste t die Abbildung [mm]D\gamma(t)[/mm] injektiv ist. Und das ist der Fall, wenn für alle t [mm] $D\gamma(t)\not=0$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Rainer
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