reflexiver Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 14.04.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Es sei D ein refleciver Banachraum, E ein normierter Raum und T: D [mm] \rightarrow [/mm] E eine lineare, injektive, beschränkte Abbildung, deren Bild dicht ist in E. Dann ist T' : E' [mm] \rightarrow [/mm] D' definiert durch T'(f) = f [mm] \circ [/mm] T ebenfalls eine lineare, injektive, beschränkte Abbildung mit dichtem Bild in E. |
Hallo,
wie kann man diese Aussage beweisen? Also ein Banachraum ist ja ein vollständig normierter Vektorraum. Reflexivität wurde für mich etwas schwer verständlich definiert:
Für festes X [mm] \in [/mm] D sei [mm] i_x [/mm] = i(x): D' [mm] \rightarrow [/mm] K (Körper) und [mm] i_x(x') [/mm] = x'(x) = <x,x'>. Wenn dieses [mm] i_x [/mm] surjektiv ist, dann ist D reflexiv. Ich hab das mit dem [mm] i_x [/mm] noch nicht ganz verstanden, was bedeutet Reflexivität demnach? Kann man das nicht auch anders definieren?
Noch eine Frage zu der Aufgabe: Warum ist das Bild von T': E' [mm] \rightarrow [/mm] D' in E ?
Wäre super, wenn mir jemand mit der Reflexivität weiterhelfen könnte und dann vor allem auch mit der Aufgabe!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich erkläre Dir mal, was Reflexivität bedeutet. Vielleicht kommst Du dann mit der Aufgabe allein klar.
Sei X ein Banachraum. Sei x [mm] \in [/mm] X und [mm] $i_x [/mm] : X' [mm] \to [/mm] K$ definiert durch
$ [mm] i_x(x') [/mm] = x'(x)$
Dann stellst Du leicht fest, dass [mm] i_x [/mm] ein stetiges lineares Funktional auf $X'$ ist, also
(1) [mm] $i_x \in [/mm] X''$ und (2) [mm] $||i_x|| [/mm] = ||x||$
In diesem Sinne erzeugt jedes $x [mm] \in [/mm] X $ ein Element des Biduals $X''$, man hat also eine Abbildung
$J : X [mm] \to [/mm] X''$, $J(x) = [mm] i_x$.
[/mm]
Dieses $J$ ist linear und stetig, sogar normerhaltend (siehe (2)) und es gilt:
$J(X) [mm] \subseteq [/mm] X''$
(locker formuliert: $X [mm] \subseteq [/mm] X''$)
Gilt nun
$J(X) = X''$,
so heißt $X$ reflexiv. Ist $X$ reflexiv, so gilt (locker formuliert): $X=X''$
Nachtrag: es kann sein, dass Ihr die Abb. $J$ auch mit [mm] $i_X$ [/mm] bez. habt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo FRED,
vielen Dank für deine Erklärung, das hat meinem Verständnins auf jeden Fall schon mal weitergeholfen!!
Ich versteh allerdings in der Aufgabenstellung die Abbildung T': E' [mm] \rightarrow [/mm] D' , T'(f) = f [mm] \circ [/mm] T noch nicht.
T bildet ab von D nach E und f ist aus E' und bildet also ein Element von E ab, wird aber durch T nach D' abgebildet. Warum soll diese Abbildung ein Bild in E haben? ... oder ist das nur ein Tippfehler in der Aufgabe? Oder muss ich das andersrum lesen, also zuerst mit f anfangen und zum Schluss lander man durch T: D [mm] \rightarrow [/mm] E wirklich in E??
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> vielen Dank für deine Erklärung, das hat meinem
> Verständnins auf jeden Fall schon mal weitergeholfen!!
>
> Ich versteh allerdings in der Aufgabenstellung die
> Abbildung T': E' [mm]\rightarrow[/mm] D' , T'(f) = f [mm]\circ[/mm] T noch
> nicht.
> T bildet ab von D nach E und f ist aus E' und bildet also
> ein Element von E ab, wird aber durch T nach D' abgebildet.
> Warum soll diese Abbildung ein Bild in E haben? ... oder
> ist das nur ein Tippfehler in der Aufgabe?
Das vermute ich, denn der Bildraum von T' liegt in D'
FRED
> Oder muss ich
> das andersrum lesen, also zuerst mit f anfangen und zum
> Schluss lander man durch T: D [mm]\rightarrow[/mm] E wirklich in
> E??
>
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo FRED,
danke für die schnelle Antwort.
Eine allgemeine Frage noch. In einem Dualraum X' liegen (lnieare, stetige) Operatoren die auf X arbeiten, d.h. Elemente von X in einen Körper abbilden - stimmt dass so? Und in einem Bidualraum X'' liegen auch Operatoren die wiederum Operatoren abbilden?
Ok, nun zur Aufgabe. Die Reflexivität von D bedeutet dann ja, dass wir D mit D'' identifizieren können, also J(D) = D''.
D.h. es ex. x [mm] \in [/mm] D mit x'(x) = x''(x') [mm] \forall [/mm] x' [mm] \in [/mm] D', insbesondere also
T(x)= x''(T). Kann man nun T' mit [mm] i_x [/mm] in Verbindung bringen damit man die gewünschten Eigenschaften hat?
Hm, irgendwie komm ich damit nicht weiter. Sind diese Überlegungen überhaupt zu etwas Nutze oder muss ich ganz anders anfangen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> danke für die schnelle Antwort.
> Eine allgemeine Frage noch. In einem Dualraum X' liegen
> (lnieare, stetige) Operatoren die auf X arbeiten, d.h.
> Elemente von X in einen Körper abbilden - stimmt dass so?
> Und in einem Bidualraum X'' liegen auch Operatoren die
> wiederum Operatoren abbilden?
Bevor Du Dich der eigentlichen Aufgabe widmest, mach Dich mal vertraut mit den nötigen Begriffen, denn ich denke, dass es daran hapert.
Sei X ein normierter Raum über dem Körper [mm] \IK, [/mm] wobei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder = [mm] \IC
[/mm]
X' : = {x': X [mm] \to \IK: [/mm] x' ist stetig und linear }
heißt der (topologische) Dualraum von X oder kurz. der Dual von X
Der Bidual X'' ist definiert durch: X'' := (X')',
also
X'' = {x'': X' [mm] \to \IK: [/mm] x'' ist stetig und linear }
FRED
>
> Ok, nun zur Aufgabe. Die Reflexivität von D bedeutet dann
> ja, dass wir D mit D'' identifizieren können, also J(D) =
> D''.
> D.h. es ex. x [mm]\in[/mm] D mit x'(x) = x''(x') [mm]\forall[/mm] x' [mm]\in[/mm] D',
> insbesondere also
> T(x)= x''(T). Kann man nun T' mit [mm]i_x[/mm] in Verbindung
> bringen damit man die gewünschten Eigenschaften hat?
> Hm, irgendwie komm ich damit nicht weiter. Sind diese
> Überlegungen überhaupt zu etwas Nutze oder muss ich ganz
> anders anfangen?
>
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Do 16.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo FRED,
ja die Begriffe hab ich mir nun nochmal klargemacht - allerdings komm ich mit der Aufgabe trotzdem nicht voran. Kannst du mir einen Hinweis geben wie ich anfangen sollte? ... und wie ich die Reflexivität dabei ausnutzen kann...? Das wäre super.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich zeigs Dir mal, aber ob Ihr die nötigen Zutaten hattet, weiß ich nicht.
Beweisskizze: es gilt:
(*) [mm] \overline{T'(E')} \subseteq Kern(T)^{\perp}
[/mm]
Mit D ist auch D' reflexiv, somit gilt in (*) "=", da [mm] \overline{T'(E')} [/mm] ein abgeschlossener Unterraum von D' ist. Also
[mm] \overline{T'(E')} [/mm] = [mm] Kern(T)^{\perp}
[/mm]
Die Injektivität von T liefert Kern(T) = {0}, also [mm] Kern(T)^{\perp}= [/mm] D'. Somit:
[mm] \overline{T'(E')} [/mm] = D'.
noch zu zeigen: T' ist injektiv.
Weiter gilt:
(**) [mm] \overline{T(D)} [/mm] = [mm] Kern(T')^{\perp}
[/mm]
Da T dichtes Bild hat , folgt
[mm] Kern(T')^{\perp} [/mm] = E
und somit Kern(T') = {0}
Bemerkung: die Zeilen (*) und (**) gelten allgemein für einen stetigen linearen Operator zwischen zwei normierten Räumen (das hattet Ihr sicher in der Vorlesung)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 16.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Beweisskizze, leider mangelt das aber doch an den "Zutaten". (*) und (**) kam in unserer VL leider (noch?) nicht vor.
Ist es sehr schwer dies einzusehen? Warum gilt das?
Was genau geht nun aus der Zeile [mm] \overline{T'(E')} [/mm] hervor?
Ich seh noch nicht warum nun T' beschränkt ist und das Bild dicht in D' ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die Beweisskizze, leider mangelt das aber doch
> an den "Zutaten". (*) und (**) kam in unserer VL leider
> (noch?) nicht vor.
Bist Du sicher ? Kann ich nicht glauben
> Ist es sehr schwer dies einzusehen? Warum gilt das?
Das steht in jedem Buch zur Funktionalanalysis
>
> Was genau geht nun aus der Zeile [mm]\overline{T'(E')}[/mm]
> hervor?
> Ich seh noch nicht warum nun T' beschränkt ist und das
> Bild dicht in D' ist?
T' ist doch nach Def. beschränkt, wenn T beschränkt ist !!
$ [mm] \overline{T'(E')} [/mm] $ = D' bedeutet doch gerade , dass das Bild dicht ist !!
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 16.04.2009 | | Autor: | Riley |
> > Hallo,
> > danke für die Beweisskizze, leider mangelt das aber
> doch
> > an den "Zutaten". (*) und (**) kam in unserer VL leider
> > (noch?) nicht vor.
>
>
> Bist Du sicher ? Kann ich nicht glauben
Ja, da bin ich sicher.
Ok, vielen Dank für deine Hilfe!! Den Rest werd ich mal im Werner suchen.
Viele Grüße,
Riley
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