reelle Nullstelle und Polynome < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Fr 02.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] n\in\IN [/mm] gerade. Zeigen Sie, dass p(x)= 1+x+ ... [mm] +x^n [/mm] keine reelle Nullstelle besitzt.
(b) Sei p ein Polynom vom Grad [mm] n\in\IN [/mm] mit p(x) ≠ 0 für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] f:\IR->\IR, [/mm] f(x):= [mm] \left( \bruch{1}{p(x)} \right) [/mm] kein Polynom sein kann. |
könnte mir jemand von euch beim Lösen bitte ein wenig behilflich sein.
Zu a) dort ist es ersichtlich, dass p(x) keine reellen Nullstellen besitzen kann,da permanent Elemente addiert werden und dies folglich nicht zu einer Nullstelle führen kann. Nur wie kann man das beweisen?
Zu b) fehlt mir der Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Blech |
> (a) Sei [mm]n\in\IN[/mm] gerade. Zeigen Sie, dass p(x)= 1+x+ ...
> [mm]+x^n[/mm] keine reelle Nullstelle besitzt.
>
> (b) Sei p ein Polynom vom Grad [mm]n\in\IN[/mm] mit p(x) ≠ 0
> für alle [mm]x\in\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]f:\IR->\IR,[/mm] f(x):=
> [mm]\left( \bruch{1}{p(x)} \right)[/mm] kein Polynom sein kann.
> könnte mir jemand von euch beim Lösen bitte ein wenig
> behilflich sein.
> Zu a) dort ist es ersichtlich, dass p(x) keine reellen
> Nullstellen besitzen kann,da permanent Elemente addiert
> werden
n=1 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] p(-1)=0
Warum geht das bei geradem n nicht? Wie könnte man p(x) abschätzen (bzw. alle [mm] $x^i$ [/mm] mit ungeradem i), um sicher zu gehen, daß es nicht negativ ist?
> Zu b) fehlt mir der Ansatz.
Was ist denn eure Definition eines Polynoms, was sind seine Eigenschaften, welchen Grad müßte denn f haben, wenn es eins wäre?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 05.11.2007 | | Autor: | H8U |
Sei n [mm] \in \IN; a_0,a_1,... a_n \in \IR [/mm] mit [mm] a_n \not= [/mm] 0. Dann heißt die Funktion p: [mm] \IR \to \IR [/mm] , [mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+...+a_n x^4 [/mm] Polynom vom Grad n. Ist n=0 und [mm] a_0 [/mm] =0, so heißt
p(x)=0 , x [mm] \in \IR [/mm] Nullpolynom n. Man ordnet p den Grad -1 zu.
Das ist die Definition von Polynomen. Allerdings hab ich auch nicht wirklich einen Lösungsvorschlag.
Kann nicht jemand blueeye noch nen Tipp geben? Bis jetzt steht nix hilfreiches da.
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> Sei n [mm]\in \IN; a_0,a_1,... a_n \in \IR[/mm] mit [mm]a_n \not=[/mm] 0.
> Dann heißt die Funktion p: [mm]\IR \to \IR[/mm] , [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+...+a_n x^4[/mm]
> Polynom vom Grad n. Ist n=0 und [mm]a_0[/mm] =0, so heißt
> p(x)=0 , x [mm]\in \IR[/mm] Nullpolynom n. Man ordnet p den Grad -1
> zu.
>
> Das ist die Definition von Polynomen. Allerdings hab ich
> auch nicht wirklich einen Lösungsvorschlag.
> Kann nicht jemand blueeye noch nen Tipp geben? Bis jetzt
> steht nix hilfreiches da.
Hallo,
zu a) man könnte hier mithilfe der endl. geometrischen Reihe überlegen.
zu b) Starte mit [mm] \bruch{1}{p(x)}=q(x) [/mm] und führe Gradüberlegungen durch.
Gruß v. Angela
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