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| Aufgabe | Sei F = {(an)n∊N | an ∊ R, ∀n ∊ N} die Menge aller reellen Folgen. F wird vermöge
(an)n∊N + (bn)n∊N = (an + bn)n∊N
c (an)n∊N = (can)n∊N , c ∊ R
zu einem R-Vektorraum. (Dies muß nicht gezeigt werden).
Sei f : F → F definiert durch (an)n∊N = (a1, a2, a3, . . .) → (a2, a3, a4, . . .). Zeigen Sie, dass f
linear, surjektiv, jedoch nicht injektiv ist.
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Hallo!
Habe ein kleines Problem bzgl. Injektivität und Surjektivität.
(Linearität zu zeigen ist ja nicht weiter schwer, oder?)
Bein injektiv und urjektiv habe ich aber leider keinen Schimmer, was ich da tun kann.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Sei F = {(an)n∊N | an ∊ R, ∀n ∊ N}
> die Menge aller reellen Folgen. F wird vermöge
> (an)n∊N + (bn)n∊N = (an + bn)n∊N
> c (an)n∊N = (can)n∊N , c ∊ R
> zu einem R-Vektorraum. (Dies muß nicht gezeigt werden).
> Sei f : F → F definiert durch (an)n∊N = (a1,
> a2, a3, . . .) → (a2, a3, a4, . . .). Zeigen Sie,
> dass f
> linear, surjektiv, jedoch nicht injektiv ist.
>
> Hallo!
Hallo rosahubert
> Habe ein kleines Problem bzgl. Injektivität und
> Surjektivität.
> (Linearität zu zeigen ist ja nicht weiter schwer, oder?)
> Bein injektiv und urjektiv habe ich aber leider keinen
> Schimmer, was ich da tun kann.
Für die Surjektivität musst du zeigen, dass jede Folge als Bild under der Abbildung f auftritt.
Sei [mm] $\mathbf b=b_1,b_2,b_3,\dots$ [/mm] eine Folge aus F. Jetzt muss du eine Folge [mm] $\mathbf a=a_1,a_2,a_3,\dots$ [/mm] angeben, so dass [mm] $f(\mathbf a)=\mathbf [/mm] b$ ist. Das sollte nicht so schwer sein.
Injektiv heisst, dass unter der Abbildung f verschiedenen Folgen auch verschiedene Bilder haben. Da f nicht injektiv ist, musst du nur zwei verschiedene Folgen angeben, dessen Bilder gleich sind, d.h. du musst [mm] $\mathbf a=a_1,a_2,a_3,\dots$ [/mm] und [mm] $\mathbf b=b_1,b_2,b_3,\dots$ [/mm] suchen mit [mm] $\mathbf a\neq\mathbf [/mm] b$ und [mm] $f(\mathbf a)=f(\mathbf [/mm] b)$. Auch dies sollte nicht allzuschwierig sein.
mfG Moudi
> Vielen Dank!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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