reell linear , stetig < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Frage: Sind reell lineare Funktionen stetig? |
Komplex lineare Funktionen L: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] sind stetig:
Stetigkeit im Punkt w, wenn [mm] \forall [/mm] r>0 [mm] \exists [/mm] s>0 sodass |z-w|<s => |f(z)-f(w)|<r
|L(z) - L(w) |=|L(1)z - L(1)w|= |L(1)| |z-w|< |L(1)| * [mm] \frac{r}{|L(1)|} [/mm] = r
wähle s:= [mm] \frac{r }{|L(1)|}
[/mm]
Frage:Sind reell lineare Funktionen ebenfalls stetig?
Da kann ich ja nicht einen Skalar rausziehen, wenn ich es mit einen komplexen Skalar zu tun habe.. Wie mache ich das hier am besten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Frage: Sind reell lineare Funktionen stetig?
> Komplex lineare Funktionen L: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] sind stetig:
> Stetigkeit im Punkt w, wenn [mm]\forall[/mm] r>0 [mm]\exists[/mm] s>0 sodass
> |z-w|<s => |f(z)-f(w)|<r
> |L(z) - L(w) |=|L(1)z - L(1)w|= |L(1)| |z-w|< |L(1)| *
> [mm]\frac{r}{|L(1)|}[/mm] = r
> wähle s:= [mm]\frac{r }{|L(1)|}[/mm]
>
> Frage:Sind reell lineare Funktionen ebenfalls stetig?
> Da kann ich ja nicht einen Skalar rausziehen, wenn ich es
> mit einen komplexen Skalar zu tun habe.. Wie mache ich das
> hier am besten?
Du kannst eine reell-lineare Abbildung L: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] auffassen als eine lineare Abbildung des [mm] \IR^2 [/mm] in sich.
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
> Du kannst eine reell-lineare Abbildung L: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
> auffassen als eine lineare Abbildung des [mm]\IR^2[/mm] in sich.
>
Ja das ist mir klar.
L: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] , reell linear
Wird es dann nicht noch undurchsichtiger wenn ich 2 Argumente habe?
Mir hilft die Anschauung noch nicht wirklich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> > Du kannst eine reell-lineare Abbildung L: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
> > auffassen als eine lineare Abbildung des [mm]\IR^2[/mm] in sich.
> >
> Ja das ist mir klar.
> L: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] , reell linear
> Wird es dann nicht noch undurchsichtiger wenn ich 2
> Argumente habe?
> Mir hilft die Anschauung noch nicht wirklich.
mir ist Deine Frage nicht ganz klar. Geht es um Funktionen [mm] $\IR^m \to \IR^n\,,$ [/mm] die linear sind?
Da kann man mit der Matrixnorm arbeiten (![[]](/images/popup.gif) Satz 19.11 in diesem Skript
- wobei dort der Begriff "Operatornorm" steht). Aber was auch geht:
Du betrachtest erst mal eine Funktion [mm] $\IR^p \to \IR\,.$ [/mm] Dort ist Stetigkeit
das Gleiche wie "Folgenstetigkeit" (Funktionen zwischen metrischen
Räumen), und Du zeigst dann damit, dass lineare Funktionen [mm] $\IR^p \to \IR$
[/mm]
stetig sind (dazu musst Du nur Rechenregeln für konvergente Folgen
kennen bzw. damit umgehen können).
Ferner gilt für
$$f [mm] \colon \IR^m \to \IR^n\,,$$
[/mm]
dass man [mm] $f=(f_1,...,f_n)^T$ [/mm] schreiben kann, wobei
[mm] $f_j \colon \IR^m \to \IR$ [/mm] für [mm] $j=1,...,n\,$
[/mm]
alles Funktionen [mm] $\IR^m \to \IR$ [/mm] sind. Und dann kann man beweisen, dass
[mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig (in [mm] $x_0 \in \IR^m$) [/mm] ist, wenn alle [mm] $f_j$ [/mm] stetig (in [mm] $x_0 \in \IR^m$) [/mm]
sind.
(Lies' die erste Seite des Kapitels 19 meinetwegen
auch nochmal diesbezüglich!)
Wenn Dir das unklar ist, machen wir es ein wenig handlicher mit einem
Beispiel:
Ist $f [mm] \colon \IR^3 \to \IR^2$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$f(x):=\pmat{1 & 2 & 5\\ 7 & 10 & 12}*x\,, [/mm] $$
(d.h. [mm] $f(x_1,x_2,x_3)=\pmat{1 & 2 & 5\\ 7 & 10 & 12}*(x_1,x_2,x_3)^T$)
[/mm]
so ist
[mm] $f_1(x)=f_1(x_1,x_2,x_3)=1*x_1+2*x_2+5*x_3$
[/mm]
und
[mm] $f_2(x)=f_2(x_1,x_2,x_3)=7*x_1+10*x_2+12*x_3$
[/mm]
Wenn nun [mm] $\IR^3 \ni x^{(n)} \to [/mm] a [mm] \in \IR^3\,,$ [/mm] so muss jede Komponentenfolge
von [mm] $(x^{(n)})_n$ [/mm] gegen die entsprechende Komponente von [mm] $a\,$ [/mm] streben (eigentlich ist
das sogar eine "genau dann, wenn"-Aussage).
Zeige nun mal hier speziell:
Wenn [mm] $x^{(n)}=(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,x^{(n)}_3)^T \to (a_1,a_2,a_3)\,,$ [/mm] dann gilt
[mm] $$f_1(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,x^{(n)}_3) \to f_1(a_1,a_2,a_3)\,.$$
[/mm]
(Stets bei $n [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
(Wenn Du willst, dann meinetwegen auch nochmal speziell für obiges [mm] $f_2\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 13.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke, deine Aussagen sind mir schon klar.
Meine Anfangsfrage:
> Sind reell lineare Funktionen stetig?
Ich fasse die reell lineare Abbildung von [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] auf als Abbildung von [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] f(x,y)=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
reell linear bedeutet, dass man nur reelle Faktoren aus der Funktion rausziehen darf!
[mm] f((r,0)^T [/mm] * [mm] (x,y)^T)=(r,0)^T* f(x,y)\,. [/mm]
mit $ [mm] \vektor{r\\0} \in \IR^2\,. [/mm] $
ZZ.: Stetigkeit im Punkt w, wenn $ [mm] \forall [/mm] $ r>0 $ [mm] \exists [/mm] $ s>0 sodass
|z-w|<s => |f(z)-f(w)|<r
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Danke, deine Aussagen sind mir schon klar.
>
>
> Meine Anfangsfrage:
> > Sind reell lineare Funktionen stetig?
> Ich fasse die reell lineare Abbildung von [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] auf
> als Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> [mm]f(x,y)=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> reell
> linear bedeutet, dass man nur reelle Faktoren aus der
> Funktion rausziehen darf!
> [mm]f((r,0)^T[/mm] * [mm](x,y)^T)=(r,0)^T* f(x,y)\,.[/mm]
> mit [mm]\vektor{r\\0} \in \IR^2\,.[/mm]
>
>
> ZZ.: Stetigkeit im Punkt w, wenn [mm]\forall[/mm] r>0 [mm]\exists[/mm] s>0
> sodass
> |z-w|<s => |f(z)-f(w)|<r
Hallo sissilie,
Sei [mm] $F\colon \IC\to \IR^2, x+iy\mapsto [/mm] (x,y)$ und [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der durch den Betrag bzw. euklidischen Norm induzierten Metrik versehen. Dann ist $F$ bijektiv, stetig und [mm] $F^{-1}$ [/mm] ist ebenfalls stetig. Ist jetzt [mm] $f\colon \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] linear, so ist auch [mm] $g=F^{-1}\circ f\circ [/mm] F$ als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke, deine Aussagen sind mir schon klar.
>
>
> Meine Anfangsfrage:
> > Sind reell lineare Funktionen stetig?
> Ich fasse die reell lineare Abbildung von [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] auf
> als Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> [mm]f(x,y)=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> reell
> linear bedeutet, dass man nur reelle Faktoren aus der
> Funktion rausziehen darf!
> [mm]f((r,0)^T[/mm] * [mm](x,y)^T)=(r,0)^T* f(x,y)\,.[/mm]
> mit [mm]\vektor{r\\0} \in \IR^2\,.[/mm]
Wolfgang hat Dir ja schon eine Lösung genannt. Eine Idee, wie man das
vielleicht auch angehen kann:
Sei $L [mm] \colon \IC \to \IC$ [/mm] "nur" [mm] $\IR$-linear, [/mm] das bedeutet
[mm] $$\forall [/mm] x,y [mm] \in \IC, \forall [/mm] u,v [mm] \in \IR:\;\;L(ux+vy)=rL(u)+sL(v)\,.$$
[/mm]
(P.S. Ich hätte mir ja auch denken können, dass Du mit reell linear nichts
anderes als [mm] $\IR$-linear [/mm] meinst... Sorry!)
Sei nun [mm] $\delta [/mm] > 0$ noch unbestimmt, dann gilt für alle $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta\,,$ [/mm] o.E. mit $x [mm] \not=y$
[/mm]
[mm] $$|L(x)-L(y)|=|L(x-y)|=|x-y|*|L(\tfrac{x-y}{|x-y|})| [/mm] < [mm] \delta*|L(\tfrac{x-y}{|x-y|})|\,.$$
[/mm]
(Es ist ja sogar $|x-y| [mm] \in [0,\infty)\,,$ [/mm] und es ist [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR$!)
[/mm]
Es reicht also, zu zeigen, dass $L$ auf [mm] $\partial \mathbb{D}=\{z \in \IC:\;\;|z|=1\}$ [/mm] beschränkt ist (d.h.
[mm] $L_{|\partial \mathbb{D}}$ [/mm] ist beschränkt!) - denn dann kannst Du zu gegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ - wenn die
Schranke etwa $S > [mm] 0\,$ [/mm] heiße, einfach [mm] $\delta:=\epsilon/S$ [/mm] setzen!
(Jetzt aber NICHT den Fehler machen, zu sagen, dass ja stetige
Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind, und der
obige Rand des Einheitskreises kompakt sei - wir wollen ja gerade
HERAUSBEKOMMEN, dass [mm] $L\,$ [/mm] stetig ist, und das nicht voraussetzen!)
Vielleicht bekommst Du das selbst bewiesen? (Angenommen, das wäre
nicht der Fall...)
[| Du kannst auch einfach beweisen, dass [mm] $L_{|\overline{\mathbb{D}}}$ [/mm] beschränkt ist, wobei [mm] $\overline{\mathbb{D}}=\{z \in \IC:\;\; |z| \le 1\}$ [/mm]
die abgeschlossene Einheitskreisscheibe aus [mm] $\IC$ [/mm] ist - Du beweist dann etwas mehr, als das,
was Du brauchst, aber daraus folgt dann natürlich das, was Du brauchst wegen [mm] $\partial \mathbb{D} \subseteq \overline{\mathbb{D}}\,$! [/mm] |]
Ansonsten:
Schau' Dir mal Definition 28.10 (klick!) sowie Bemerkung 28.11 an. Die Beweise dazu
findest Du in jedem (guten) Funktionalanalysis-Buch, wenn Du sie nicht
selbst hinbekommst - und das läßt sich wunderbar auch auf Deinen
speziellen Fall anwenden.
Beachte übrigens: Bei linearen Abbildungen bedeutet "beschränkt"
eigentlich "Die Einschränkung der linearen Abbildungen auf den
abgeschlossenen Einheitsball ist beschränkt!"
(Das ist ja "weniger", als man sonst fordert!)
P.P.S. Ich denke eigentlich, dass Du das ganze hier auch wirklich einfach
selbst mit der Operatornorm, auf die ich die hingewiesen habe (Satz 19.11 (klick!)), hättest nachrechnen können. Solange ich mir das aber nicht
selbst mal hingeschrieben habe, sehe ich nicht, ob ich da nicht vielleicht
doch etwas übersehe. Ich schreibe das demnächst mal selber auf, es sei
denn, Du hast das schonmal probiert und kennst "die Problemstelle" -
dann wäre es sehr nützlich und zeitsparend für uns, wenn Du sie einfach
kurz erwähnst!
Gruß,
Marcel
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