rechteckiger Pyramidenstumpf < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 07.06.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche l= 6cm, b= 4cm, und einer Spitze, die in der Mitte der Grundfläche beginnt und zu dieser 8cm Abstand hat.
a) Berechne das Volumen der Pyramide
b) Berechne die Oberfläche der Pyramide
c) Eine Ebene schneidet von der Pyramide die Spitze ab, so dass das Volumen des Pyramidenrestes [mm] \bruch{7}{8} [/mm] des ursprünglichen Volumens beträgt. Wie hoch ist der Pyramidenstumpf? |
Moin, moin!
zu a)
V = [mm] \bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
V = [mm] \bruch{1}{3}*6*4*8 [/mm] = 64 [mm] cm^3
[/mm]
zu b)
O = G + [mm] 2*A_{lang} +2*A_{breit}
[/mm]
Berechnung der Dreiecksmantelflächen...
1. [mm] A_{lang} [/mm]
korrektur 1
[mm] h^2 [/mm] + [mm] (\bruch{breite}{2})^2 [/mm] = [mm] (ha_{lang})^2 [/mm]
[mm] 8^2 [/mm] + [mm] (\bruch{4}{2})^2 [/mm] = [mm] (ha_{lang})^2 [/mm]
68 = [mm] (ha_{lang})^2 [/mm]
[mm] ha_{lang} [/mm] = 8,246
[mm] A_{lang} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*6*8,246
[/mm]
[mm] A_{lang}= [/mm] 24,74
korrektur 1 ende
2. [mm] A_{breit} [/mm]
korrektur 2
[mm] h^2 [/mm] + [mm] (\bruch{laenge}{2})^2 [/mm] = [mm] (ha_{breit})^2 [/mm]
[mm] 8^2 [/mm] + [mm] (\bruch{6}{2})^2 [/mm] = [mm] (ha_{breit})^2 [/mm]
73 = [mm] (ha_{breit})^2
[/mm]
[mm] ha_{breit} [/mm] = 8,544
[mm] A_{breit} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*4*8,544
[/mm]
[mm] A_{breit}= [/mm] 17,09
3. O = 6*4 + 2*24,74 + 2*17,09 = 107,66 [mm] cm^2
[/mm]
korrektur 2 ende
zu c)
Aber wie berechne ich jetzt die Höhe des Pyramidenstumpfes?
Also das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt [mm] \bruch{7}{8} [/mm] des Pyramidenvolumens, d.h. [mm] \bruch{7}{8}*64 [/mm] = 56 [mm] cm^3
[/mm]
Ich habe zwar eine Formel für quadratische Pyramidenstümpfe, aber wie übetrage ich das auf die Aufgabe?
V = [mm] \bruch{1}{3}*h*(a_1^2 +a_1*a_2 +a_2^2)
[/mm]
bzw.
V = [mm] \bruch{1}{3}*h*(G_1 +\wurzel{G_1*G_2} +G_2)
[/mm]
Nun habe ich ja, [mm] G_1 [/mm] = 6*4 = [mm] 24cm^2 [/mm] und ich habe die Gesamthöhe h_ges= 8 cm...
Aber wie jetzt weiter???
Danke & Gruß
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Hallo,
a)
korrekt
b)
dein Ansatz über Pythagoras ist korrekt, du hast im 1. Teil die Höhe des Dreiecks einer Seitenfläche berechnet mit 8cm und 3cm Länge der Katheten, [mm] h=\wurzel{73}cm [/mm] ist korrekt, jetzt möchtest du ja die Fläche vom Dreieck berechnen, die dazugehörige Grundseite beträgt aber 4cm, mache dir dazu eine Skizze, ebenso das andere Dreieck deiner Seitenfläche
c)
machen wir uns klar was wir wissen, ich bezeichne mit [mm] h_u [/mm] die Höhe (unten) vom Pyramidenstumpf, mit [mm] h_o [/mm] die Höhe (oben) der oben abgeschnittenen Pyramide, jetzt überlege dir
[mm] 8cm=h_u+h_o
[/mm]
[mm] 56cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_u*(6cm*4cm+\wurzel{6cm*4cm*c*d}+c*d) [/mm] Volumen Pyramidenstumpf
c und d ist das Rechteck der Deckfläche vom Pyramidenstumpf, gleichzeitig die Grundfläche der oberen Pyramide
[mm] 8cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_o*c*d [/mm] Volumen obere Pyramide
wir haben vier Unbekannte: [mm] h_u, h_o, [/mm] c, und d, aber nur drei Gleichungen, überlege dir das Verhältnis von c zu d
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 12.06.2010 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
zu b)
Da habe ich wohl die Seiten verwechselt.
[mm] A_{lang} [/mm] = 24,74 [mm] cm^2
[/mm]
[mm] A_{breit} [/mm] = 17,09 [mm] cm^2 [/mm]
=> O = 6*4 + 2*24,74 + 2*17,09 = 107,66 [mm] cm^2
[/mm]
Korrektur im einzelnen s. Aufgabenstellung.
zu c)
Ok, wir haben
I.
> [mm]8cm=h_u+h_o[/mm]
>
II.
> [mm]56cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_u*(6cm*4cm+\wurzel{6cm*4cm*c*d}+c*d)[/mm]
>
> Volumen Pyramidenstumpf
>
> c und d ist das Rechteck der Deckfläche vom
> Pyramidenstumpf, gleichzeitig die Grundfläche der oberen
> Pyramide
>
III.
> [mm]8cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_o*c*d[/mm] Volumen obere Pyramide
>
> wir haben vier Unbekannte: [mm]h_u, h_o,[/mm] c, und d, aber nur
> drei Gleichungen, überlege dir das Verhältnis von c zu d
Nun, das Verhältnis der Seitenlängen der Deckfläche müsste gleich dem Verhältnis der Seitenlängen der Grundfläche sein, d.h.
[mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{l}{b}
[/mm]
[mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{6}{4}
[/mm]
c = [mm] \bruch{3}{2}*d
[/mm]
Dies setze ich ein...
II. 56 [mm] cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_u*(6cm*4cm+\wurzel{6cm*4cm*c*d}+c*d) [/mm]
56 [mm] cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_u*(24cm^2+\wurzel{24cm^2*\bruch{3}{2}*d*d}+\bruch{3}{2}*d*d) [/mm]
56 [mm] cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_u*(24cm^2+\wurzel{36cm^2*d^2}+\bruch{3}{2}*d^2) [/mm]
IV.
168 [mm] cm^3 [/mm] = [mm] h_u*(24cm^2+6d cm^2+\bruch{3}{2}*d^2) [/mm]
III. [mm] 8cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_o*c*d
[/mm]
[mm] 8cm^{3}=\bruch{1}{3}*h_o*\bruch{3}{2}*d*d
[/mm]
[mm] 24cm^3 [/mm] = [mm] h_o*\bruch{3}{2}*d*d
[/mm]
V.
16 [mm] cm^3 [/mm] = [mm] h_o*d^2 [/mm]
I. in V. einsetzen...
16 [mm] cm^3 [/mm] = (8 cm - [mm] h_u)*d^2
[/mm]
[mm] \bruch{16 cm^3}{d^2} [/mm] = 8 cm - [mm] h_u
[/mm]
VI.
[mm] h_u [/mm] = 8 cm - [mm] \bruch{16 cm^3}{d^2}
[/mm]
VI. in IV einsetzen...
168 [mm] cm^3 [/mm] = [mm] h_u*(24cm^2+6d cm^2+\bruch{3}{2}*d^2) [/mm]
168 [mm] cm^3 [/mm] = (8 cm - [mm] \bruch{16 cm^3}{d^2})*(24cm^2+6d cm^2+\bruch{3}{2}*d^2) [/mm]
168 [mm] cm^3 [/mm] = 192 [mm] cm^3 [/mm] + 48*d [mm] cm^3 [/mm] + [mm] 12*d^2 cm^3 [/mm] - [mm] \bruch{384 cm^3}{d^2} [/mm] - [mm] \bruch{96 cm^3}{d} [/mm] - 192 [mm] cm^3 [/mm]
168 [mm] cm^3 [/mm] = 48*d [mm] cm^3 [/mm] + [mm] 12*d^2 cm^3 [/mm] - [mm] \bruch{384 cm^3}{d^2} [/mm] - [mm] \bruch{96 cm^3}{d} [/mm]
14 [mm] cm^3 [/mm] = 4*d [mm] cm^3 +d^2 cm^3 [/mm] - [mm] \bruch{32}{d^2} cm^3 [/mm] - [mm] \bruch{8 cm^3}{d} [/mm]
Ich lasse die Einheiten jetzt mal weg...
[mm] 14*d^2 [/mm] = [mm] 4*d^3 +d^4 [/mm] - 32 - 8d
Und wie löse ich das jetzt???
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Hallo,
[mm] 168=(8-\bruch{16}{d^{2}})*(24+6d+1,5d^{2})
[/mm]
jetzt unterläuft dir ein kleiner Fehler beim Auflösen der Klammern, der letzte Summand, dort steht -24 du rechnest -16 mal 1,5
[mm] 168=192+48d+12d^{2}-\bruch{384}{d^{2}}-\bruch{96}{d}-24
[/mm]
[mm] 168=168+48d+12d^{2}-\bruch{384}{d^{2}}-\bruch{96}{d}
[/mm]
[mm] 0=48d+12d^{2}-\bruch{384}{d^{2}}-\bruch{96}{d}
[/mm]
[mm] 0=48d^{3}+12d^{4}-384-96d
[/mm]
[mm] 0=12d^{4}+48d^{3}-96d-384
[/mm]
[mm] 0=d^{4}+4d^{3}-24d-32
[/mm]
du hast jetzt eine Gleichung 4. Grades, findest aber schnell die 1. Lösung (durch Probieren) d=-2
jetzt überlege mal, was das bedeutet
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 12.06.2010 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
nun d= -2 geht nicht, da es keine negativen Strecken gibt.
Aber man könnte Polynomdivision machen...
[mm] d4+4d^3-24d-32 [/mm] = [mm] (d+2)*(d^3+2d^2-4d-16)
[/mm]
mit Excel vermute ich eine Nullstelle bei ungefähr 2,41
allerdings, finde ich das für eine Mittelstufenaufgabe doch recht happig...
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Hallo hase, hallo Steffi,
ich will gerade nicht nachrechnen, was Ihr da bestimmt.
Das ist aber sicher kein Weg für die Mittelstufe.
Der ginge nämlich wie folgt:
Die in der Aufgabe genannte Ebene muss wohl als parallel zur Grundfläche der Pyramide vorausgesetzt werden, das fehlt leider.
Diese Ebene schneidet nun die Pyramide so, dass die abgeschnitte Spitze s [cm] hoch sei.
Wir setzen [mm] x=\bruch{s}{h}
[/mm]
Welches Volumen hat nun diese Spitze? Sie ist der ursprünglichen Pyramide ja ähnlich, und ohne Mühe ist per Strahlensatz zu zeigen, dass alle Längen gerade das x-fache der entsprechenden Längen der großen Pyramide betragen.
Daher ist [mm] V_{Spitze}=x^3V_{gesamt}
[/mm]
Es bleibt also schließlich nur zu lösen: [mm] x^3=1-\bruch{7}{8}=\bruch{1}{8}
[/mm]
- und das geht auch in der Mittelstufe bequem im Kopf.
Grüße
reverend
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