rechteck im dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | hier erstmal eine beispiel aufgabe:
Aufgabe
die katheten eines rechtwinkligen dreiecks sind 12cm und 8 cm lang, diesem dreieck ist ein möglichst großes rechteck einzubeschreiben,, von dem zwei seitzen auf den katheten des dreicks liegen.
Lösung: a=7,5 b=5
Nun die Frage: stimmt es , dass bei den extremwertaufgaben "rechteck im dreieck"s.o. immer die hälfte der a bzw. b seite beibehalten wird, wenn man den größtmöchlichen flächeninhalt herausbekommen will? |
das war nämlich bis jetzt bei jeder aufgabe die wir dazu hatten so und als wir unsere mathelehrerin gefragt haben, meinte sie wir solle uns dafür eine herlkeitung aufschreiben, also irgendwas allgemien formulieren ( bis jetzt haben wir immer mit geardengleichúngen gerechnet. woher bekomme ich jetzt also eine herleitung , gibt es die regel üb erhaupt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Zunächst mal könntest du dir eine Zeichnung anfertigen, um es dir zunächst selbst mal zu zeigen (oder auch ebend nicht).
Sonst ist das hier eine klassische Extremwertaufgabe.
Habt ihr bereits mit solchen aufgaben angefangen, wo einer Haupt- und eine Nebenbedingung aufgestellt werden; dann wird die Nebenbedinung in die Hauptbedingung eingesetzt und diese dann optimiert.
Aber falls ihr das noch nicht hattet, wäre das uninteressant und ich wüsste nicht, wie man echt "unzeichnerisch" begründen könnte.
Man könnte noch eine orthogonal zur Hypothenuse stehende Seite einzeichnen; diese wäre nachher automatisch die Diagonale des Rechtecks aber das ist auch wieder was anderes.
Such dir was aus :D
Lg
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| Aufgabe | | selbe frage wie in meinem post! |
ich g´laube du hast mich falsch verstanden! wir hatten das alles schon ja! deswegen habe ich ja auch die lösung dazugeschrieben! meine frage bezog sich auf die gleichmäßigkeit (hälfte) zwischen den kateten und den seiten des rechtecks. siehe meine erste frage und azu eine allgemien herleitung  aber trotzdem danke für deine hilfe, vielliecht kannst du mir ja trotzdem weiterhelfen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wenn nur das dein Problem ist ... :D
Lass einfach die Längen der Katheten variabel, setz sie z.B. a und b; dann schau, was für Werte du anschließend erhälst!
Diese "Formel" geht dann für alle Längen, die du einsetzen würdest.
Lg
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hab ich gemacht mit x und y , kommt bei mir folgend
1. ist das richtig?
2. muss man da noch weiter kürzen und was sagt mir das?
Nebenbedingung:m= -(y/x) b=-(y/x)a+mx
Zielfunktion:A(a)=a*(-(y/x)a+mx)
[mm] =-(y/x)a^2+mxa
[/mm]
Extremum bestimmen:A´(a)=-2y/xa+mx
einsetzen in nebenbedingung:b=-(y/x)*(-2y/xa+mx)+mx
hoffe es ist verständlich was ich meine und nicht allzu schwachsinnig! danke!
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Hallo, deine Beschriftung ist nicht nachvollziehbar,
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \overline{AB}=12cm
[/mm]
[mm] \overline{BC}=8cm
[/mm]
Rechteck:
[mm] A=\overline{BD}*\overline{BF}
[/mm]
[mm] \overline{BD}=y [/mm] und [mm] \overline{BF}=x
[/mm]
A(y,x)=y*x
jetzt Strahlensatz
[mm] \bruch{12}{8}=\bruch{12-y}{x}
[/mm]
stelle nach x um
[mm] x=\bruch{(12-y)*8}{12}
[/mm]
[mm] A(x)=y*\bruch{(12-y)*8}{12}
[/mm]
[mm] A(x)=8y-\bruch{2}{3}y^{2}
[/mm]
jetzt solltest du klar kommen
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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kann es sein dass auch du mich alsch vertsnaden hast...bin mir gerade nicht sicher weil mir das mit strahlensätzen noch nie gemacht haben! aber ih denke mak dass man mit deiner art nur die ösung der aufgabe errechnet, die will ich aber nicht, da ich diese bereits gelösst habe^^ ich wollte , das habe ich zumindest versucht in meiner aufagebnstellung deutlich zu machen nur wissen: wie ich eine allgemeine herleitung formulieren kann, in der ich beweise , dass bei so welchen aufgaben wie ich diese als beispiel genannt hatte, die seiten des rechtecks genau die hälfte der katheten des dreiecks sind, kann mir vieelich jemand helfen bzw. korrigieren oder mir einfach sagen, dass ich total auf dem hholzweg bin
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Hallo!
Ich weiß nicht ganz was das mx in deiner Geradengleichung bedeutet.
So sieht es aus, wenn ich deinen Ansatz verfolge:
(x ist Kathete auf x-Achse, y ist Kathete auf y-Achse, x>a>0, y>b>0)
1. A(a,b)= a*b
2. NB: P(a,b) liegt auf der Geraden g(a)(=Hyp.).
m = [mm] -\bruch{y}{x} [/mm] -> [mm] g(a)=-\bruch{y}{x}*a+y
[/mm]
[mm] b=-\bruch{y}{x}*a+y
[/mm]
3. -> [mm] A(a)=(-\bruch{y}{x}*a+y)*a
[/mm]
[mm] =-\bruch{y}{x}*a^{2}+a*y
[/mm]
-> [mm] A'(a)=2*a*(-\bruch{y}{x})+y
[/mm]
4. A'(a)=0
0 = [mm] 2*a*(-\bruch{y}{x})+y
[/mm]
[mm] 2*a*\bruch{y}{x}=y
[/mm]
a= [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{x}{y}*y
[/mm]
a= [mm] \bruch{1}{2}*x
[/mm]
5. Setze a in Gleichung für b ein:
[mm] b=-\bruch{y}{x}*\bruch{1}{2}*x+y=-\bruch{1}{2}*y+1*y=\bruch{1}{2}y
[/mm]
Also: a und b haben immer die halbe Länge der Katheten.
Liebe Grüße,
Lady Eisenherz
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Deine Vermutung, dass die maximal Fläche genau dann erreicht ist, wenn das Rechteck seine Punkte genau auf der Hälfte des Dreiecks hat, ist richtig.
Es sei
F = Fläche des Rechtecks
a und b = die Seiten des Dreiecks
f = der Anteil von a, der gleichzeitig eine Seite des Rechtecks bildet
1-f = der Anteil von b, der gleichzeitig eine Seite des Rechtecks bildet
(0<f<1)
Dann ergibt sich:
(1-f)*b*(f*a)=F ==> ba*f - [mm] ba*f^{2} [/mm] = F
Durch Umwandlung ergibt sich dann [mm] (f-\bruch{1}{2})^{2}=-\bruch{F}{ab}+\bruch{1}{4}
[/mm]
ba ist ein fester Faktor, dessen Höhe vom jeweiligen Dreieck abhängt. Interessant ist jedoch der Wert von f in der obigen Formel.
Die Fläche F soll ja maximal sein, und das ist sie bei [mm] f=\bruch{1}{2}
[/mm]
Genau das sollte ja gezeigt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Di 26.02.2008 | | Autor: | ange-yeah |
das ist genau das , was cih mit meiner rechung versuchte ausszudrücken! jetzt fühl ich mich verstanden ^^ danke euch
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