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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 03.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{2x^3 - 3x + 1}{x+1}dx} [/mm] = ? |
Ich habe hier erst einmal eine Polynomdivison mit Rest durchgeführt, um den Bruch aufzulösen.
Daraus erhalte ich:
[mm] \integral{\bruch{2x^3 - 3x + 1}{x+1}dx} [/mm] = [mm] \integral{2x^2 - 2x - 1 + \bruch{2}{x+1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - x + 2ln|x+1| + C
Das geht ja noch wunderschön auf (ich hoffe, ich habe mich da nicht verrechnet).
Aber wie müsste ich denn vorgehen, wenn ich z.B. den Kehrwert obiger Funktion integrieren müsste? Also wenn bei einem rationalen Integranden der Nennergrad größer ist, als der Zählergrad und ich keine "bekannte" Funktion erkennen kann, wie z.B. (arctan(x))' = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] ?
Danke im Voraus und liebe Grüße,
Tobias
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Hi, MaRaQ,
> [mm]\integral{\bruch{2x^3 - 3x + 1}{x+1}dx}[/mm] = ?
> Ich habe hier erst einmal eine Polynomdivison mit Rest
> durchgeführt, um den Bruch aufzulösen.
>
> Daraus erhalte ich:
>
> [mm]\integral{\bruch{2x^3 - 3x + 1}{x+1}dx}[/mm] = [mm]\integral{2x^2 - 2x - 1 + \bruch{2}{x+1} dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] - x + 2ln|x+1| + C
>
> Das geht ja noch wunderschön auf (ich hoffe, ich habe mich
> da nicht verrechnet).
Alles OK!
> Aber wie müsste ich denn vorgehen, wenn ich z.B. den
> Kehrwert obiger Funktion integrieren müsste? Also wenn bei
> einem rationalen Integranden der Nennergrad größer ist, als
> der Zählergrad und ich keine "bekannte" Funktion erkennen
> kann, wie z.B. (arctan(x))' = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] ?
Du müsstest eine Partialbruchzerlegung machen und anschließend die einzelnen Summanden integrieren!
mfG!
Zwerglein
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