rationale kanonische Form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:16 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich hab da mal ne Frage.
Ich soll von der Matrix [mm] A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix} \in \IQ^{3x3} [/mm] die rationale kananosche Form A' berechnen. Das habe ich auch gemacht und konnte es berechnen.
Sie lautet: [mm] A' = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Weiterhin soll ich dann eine Matrix [mm] P \in GL_3(\IQ) [/mm] mit [mm] P^{-1}AP=A'[/mm] berechnen. Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht so recht wie ich auf diese Matrix P komme. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp dazu geben?
Vielen Dank schon im vorraus
Jessica.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica!
> ich hab da mal ne Frage.
> Ich soll von der Matrix [mm]A = \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 1 \\
> 1 & 0 & 1 \\
> 1 & 1 & 0
> \end{pmatrix} \in \IQ^{3x3} [/mm] die rationale kananosche Form A' berechnen. Das habe ich auch gemacht und konnte es berechnen.
Was ist denn die rationale kanonische Form? (frage ich nur aus Interesse, das gehört ja nicht zu deiner Frage).
> Sie lautet: [mm]A' = \begin{pmatrix}
> -1 & 0 & 0\\
> 0 & 0 & 2 \\
> 0 & 1 & 1
> \end{pmatrix}[/mm]
> Weiterhin soll ich dann eine Matrix [mm]P \in GL_3(\IQ) [/mm] mit [mm]P^{-1}AP=A'[/mm] berechnen. Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht so recht wie ich auf diese Matrix P komme. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp dazu geben?
Hier müßte doch ein einfaches lineares Gleichungssystem reichen, nach einer kleinen Umformung der Gleichung:
[mm]P^{-1}AP=A'[/mm]
[mm] $\gdw$[/mm] [mm]AP=PA'[/mm]
Dort würde ich dann links und rechts für P die Matrix
[mm]P= \begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{pmatrix}[/mm]
einsetzen und ausmultiplizieren.
Dann würde ich zu den Gleichungen der Einträge übergehen (denn zwei Matrizen sind gleich [mm] \gdw [/mm] alle Einträge sind gleich).
Das sind neun Gleichungen und neun Variablen, müßte also zu schaffen sein.
Einen schnelleren/geschickteren Weg sehe ich zur Zeit nicht.
Melde dich doch mal mit deinen Ergebissen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc!
Die ratinale kanonische Frorm einer Matrix ist bei uns das gleiche wie die Frobenius'sche Normalform.
Danke für deine schnelle Antwort. Bis später
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo stefan,
dein Tipp war gold richtig. ICh hab nicht die Zeit den ganzen Lösungsweg zu posten, deshalb hier nur die Endergebnisse:
Es verbleiben folgende 6 Gleichungen:
[mm]p_1+p_4+p_7=0[/mm]
[mm]-2p_2-p_3=0[/mm]
[mm]-p_3+2p_8=0[/mm]
[mm]-p_5+p_8=0[/mm]
[mm]p_6=0[/mm]
[mm]p_9=0[/mm]
Setzt man [mm]p_1=1, p_2=1, p_4=1[/mm] folgt daraus:
[mm]p_3=-2, p_7=-2, p_8=-1, p_5=-1[/mm]
somit sieht p wie folgt aus:
(Ich habe die Matrix p wie folgt definiert:
[mm]p=\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3 \\
p_4 & p_5 & p_6 \\
p_7 & p_8 & p_9
\end{pmatrix}[/mm] )
[mm]p=\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
1 & -1 & 0 \\
-2 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
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, du kennst das ja: umgekehrtes Vorzeichen nehmen!)
