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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 So 24.01.2010 | | Autor: | anaana |
| Aufgabe | | [mm]\integral_{-1}^{2} \wurzel{x^2+2x+7}\, dx [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute.
Ich muss die oben genannte Aufgabe irgendwie lösen. Hab schon einiges versucht, bin aber noch nicht zu einem richtigen Ergebnis gekommen.
Mein Ansatz wäre: Zuerst die Funktion unter der Wurzel mittels quadratischen Ergänzens verändern und dann das Integral mit einer Substitution auf die Form [mm] \wurzel{6}*\integral_{-1}^{2} \wurzel{y^2+1}\, dy[/mm] bringen. Jetzt wäre meine Idee mit noch einer Substitution (y=sinh z) zu ersetzen. Und hier komme ich nicht mehr weiter, da ich den Inhalt der Bücher:
[mm]y=sinh z[/mm], [mm]\wurzel{y^2+1}=cosh(z)[/mm], [mm]dy=cosh z dz[/mm]
....
nicht verstehe und nicht weiß wie ich jetzt weiter substituieren soll.
danke schonmal,
mfg anaana ;)
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> [mm]\integral_{-1}^{2} \wurzel{x^2+2x+7}\, dx [/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute.
>
> Ich muss die oben genannte Aufgabe irgendwie lösen. Hab
> schon einiges versucht, bin aber noch nicht zu einem
> richtigen Ergebnis gekommen.
>
> Mein Ansatz wäre: Zuerst die Funktion unter der Wurzel
> mittels quadratischen Ergänzens verändern und dann das
> Integral mit einer Substitution auf die Form
> [mm]\wurzel{6}*\integral_{-1}^{2} \wurzel{y^2+1}\, dy[/mm] bringen.
der ansatz war gut, doch die ausführung ist nicht ganz gelungen
[mm] \int_{-1}^{2}\sqrt{x^2+2x+7}dx=\int_{-1}^{2}\sqrt{6}*\sqrt{\left(\frac{x+1}{\sqrt{6}\right)^2+1}}dx
[/mm]
nun die substitution (auch für die grenzen):
[mm] y=\frac{x+1}{\sqrt{6}} \Rightarrow dy=\frac{dx}{\sqrt{6}} [/mm] ergibt dann
[mm] \int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{6}}}\sqrt{6}\sqrt{y^2+1}dy*\sqrt{6}=6\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{6}}}\sqrt{y^2+1}dy
[/mm]
> Jetzt wäre meine Idee mit noch einer Substitution (y=sinh
> z) zu ersetzen. Und hier komme ich nicht mehr weiter, da
> ich den Inhalt der Bücher:
jetzt nun deine sinnvoll vorgeschlagene substitution: $ y=sinh(z) [mm] (\gdw [/mm] z=arsinh(y)) [mm] \Rightarrow [/mm] dy=cosh(z)dz $
wirds nun zu (mit geänderten grenzen)
[mm] 6*\int_{0}^{arsinh(\frac{3}{\sqrt{6}})}\sqrt{sinh(z)^2+1}dz*cosh(z)=6*\int_{0}^{arsinh(\frac{3}{\sqrt{6}})}cosh^2(z)dz
[/mm]
>
> [mm]y=sinh z[/mm], [mm]\wurzel{y^2+1}=cosh(z)[/mm], [mm]dy=cosh z dz[/mm]
das jetzige entwender aus der formelsammlung entnehmen oder mit partieller integration lösen
ergebnis sollte dann was um die 8,9 sein
> ....
>
> nicht verstehe und nicht weiß wie ich jetzt weiter
> substituieren soll.
>
> danke schonmal,
>
> mfg anaana ;)
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 So 24.01.2010 | | Autor: | anaana |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe. :)
mfg anaana
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