ratio. Funkt. diverenzierbar?? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Die Frage wirkt jetzt hoffentlich nicht zu dumm?? 
Eine Funktion$f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] , [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IR \mbox{ und } x \not\in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm]
dürfte eigentlich an keiner Stelle diverenzierbar sein, so es sonst zwei "benachbarte" rationale (irrationale) Zahlen geben müsste, zwischen denen keine irrationale (rationale) Zahl liegt. Ist offenbar nicht der Fall, wenn auch eine mathematisch exakte Konstruktion nicht ganz leicht sein dürfte... (darf man so argumentieren?)
Allgemein kann man dann doch auch sagen:
Eine Funktion$f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] , [mm]f(x)=\begin{cases} g(x), & \mbox{für } x \in \IR\mbox{ und} \not\in\IQ \\ h(x), & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm] mit g(x) [mm] \not= [/mm] h(x) ist nicht differenzierbar. Ist damit dann auch g nicht differenzierbar [mm] (g:\IR\rightarrow \IR [/mm] \ [mm] \IQ)?
[/mm]
und gilt entsprechendes auch für jede andere Funktion $h: [mm] \IR\rightarrow\IQ$ [/mm] ? Und wie stehts mit einer Funktion [mm]i: \IQ \rightarrow \IQ[/mm]?
Wenn sich jemand herablässt einem armen verwirrten Schüler eine Antwort zu geben jetzt schon mal DANKE !
Gruß Samuel
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Hallo Samuel,
eine differenzierbare Funktion ist auch immer schon stetig. Deine Funktion
[mm]1_{\IQ}(x)=\begin{cases}1 \mbox{ für } x\in\IQ\\ 0 \mbox{ sonst }\end{cases}[/mm]
ist nicht stetig. Deshalb kann sie auch nicht diff'bar sein. (Man nennt sie übrigens charakteristische Funktion von [mm] \IQ [/mm] .) Sie ist sogar nirgends stetig, denn beliebig nahe bei jeder Zahl, egal ob rational oder irrational, treten immer sowohl der Funktionswert 0 als auch der Funktionswert 1 auf.
Bei deinem zweiten Beispiel kannst du von f nicht auf g und h schließen.
Als Gegenbeispiel genügt [mm] f=1_{\IQ} [/mm] , denn hier ist f nicht stetig, aber offensichtlich sind g und h beide differenzierbar.
Na hoffentlich hat sich deine Verwirrung etwas gelegt.
Im Mathe-Grundstudium bekommst du aber ausführlich mit solchen Sachen zu tun. 
Hugo
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