radiale Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien u : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \Phi (r,\varphi) [/mm] = [mm] \vektor{r \cos \varphi \\ r \sin \varphi} [/mm] für [mm] 0\le\varphi<2\pi, r\ge0 [/mm] ,
die Polarkoordinatendarstellung in der Ebene.
a) Berechnen Sie die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial u}{\partial r} [/mm] in radialer Richtung im Punkt [mm] P_0 [/mm] = [mm] (-1,\sqrt{3}).
[/mm]
b) Berechnen Sie die (totale) Ableitung [mm] \Phi'(r,\varphi).
[/mm]
c) La Place, bla bla |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tach Leute. Mein erster Post und ich hab gleich maln paar Fragen bzgl. obiger Aufgabe.
Zunächst versteh ich schon nicht was die Funktion u nun eigentlich ist.
Ich denke mal:u( [mm] \vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}. [/mm] (Nur hier frag ich mich, wieso u nicht in den [mm] \IR^2 [/mm] abbildet...
So dann beschreibt das Teil ja nen Kreis mit beliebigen Radius um den Nullpunkt.
Jetzt hab ich das nächste Problem mit der Richtungsableitung.
Hier erstmal mein Ansatz: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{u( \vektor{x \\ y}+h\vec{n})-u( \vektor{x \\ y})}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{ \vektor{x \\ y}+h\vec{n}-\vektor{x \\ y}}{h}
[/mm]
So nun ist ja [mm] P_0 [/mm] gegeben woraus folgt: r = 2 und [mm] \varphi [/mm] = 120°
Ok, ich glaub ich bin jetzt schon auf dem Holzweg, da ja nach nun folgen würde: [mm] \bruch{\partial u}{\partial r} [/mm] = [mm] \vec{n}
[/mm]
Aber mit diesem normierten Vektor hab ich auch ein Problem, wie soll der denn aussehen, ist das quasi der jeweilige Vektor, der von einem Punkt des Kreises ausgeht, auf der Tangente dieses Punktes liegt und die Länge 1 hat oder ist es der normierte Ortsvektor von [mm] P_0 [/mm] ? Entscheidend wär hier für mich das geometrische Verständis was eben dieser normierte Vektor ist und vor allem was eigentlich die geometrische Interpretation der Richtungsableitung in dieser Aufgabe ist.
Der Differenzialquotient ist mir wichtiger aber dann hab ich mir gedacht, da u ja zweimal stetig differenzierbar ist, müsste ich die Richtungsabletung doch auch einfach rauskiregen, indem ich die Jacobi-Matrix mit dem normierten Vektor [mm] \vec{n} [/mm] multipliziere. Nur da krieg ich auch die tollsten Sachen raus:
Jacobi: J = [mm] \pmat{ \bruch{\partial x}{\partial r} & \bruch{\partial x}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial y}{\partial r} & \bruch{\partial y}{\partial \varphi} } [/mm] = [mm] \pmat{ \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi}
[/mm]
So ok, also für nen paar Tipps wär ich dankbar. Jedenfalls schonmal Danke überhaupt fürs Lesen. 
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Hallo teutone,
ich denke, es geht mehr darum, bestimmte differential-operatoren für eine funktion $u$ zu bestimmen, die in polarkoordinaten gegeben ist, also
[mm] $(r,\phi)\mapsto u(r,\phi)$
[/mm]
schau mal in der literatur nach, die sollte es reichlich geben.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 08.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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