quadratische ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 02.03.2008 | | Autor: | mathee |
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hallo,
wie löst man quadratische ungleichungen mit der form [mm] ax^{2}+bx+c\le [/mm] 0 oder [mm] ax^{2.5}+bx+c \ge [/mm] 0.
z.B mit [mm] x^{2}+6x+10<0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 02.03.2008 | | Autor: | vwxyz |
Es gibtzwei Möglichkeiten die Aufgaben zu lösen. Die erste wäre es mit quadratischer Ergänzung zu machen. Dabei muss zu einem vorhandenem Binom das fehlende Glied hinzugefügt werden:
Bsp. [mm] \underbrace{x^{2}}_{=a^{2}}+\underbrace{6x}_{=2*a*b}+10
[/mm]
Es fehlt nun [mm] b^{2}. [/mm] Da [mm] a^{2}=x^{2} \Rightarrow [/mm] a=x
2*a*b=6x [mm] \Rightarrow [/mm] 2*x*b=6x [mm] \Rightarrow [/mm] 2*b=6 [mm] \Rightarrow [/mm] b=3
Nun folgt:
[mm] \underbrace{x^{2}}_{=a^{2}}+\underbrace{6x}_{=2*a*b} +\underbrace{3^{2}}_{=b^{2}}-\underbrace{3^{2}}_{=b^{2}}+10 [/mm] < 0
es muss sowohl addiert als auch hinzugefügt werden damit die gleichung auch gleichbleibt.
dann ergibt sich nachdem man das binom zusammengefasst hat:
[mm] (x+3)^{2}-9+10<0
[/mm]
[mm] (x+3)^{2}<-1
[/mm]
Also keine Lösung wegen -1 unter der Wurzel
Die zweite Möglichkeit wäre dies allgemein zu lösen
für die Form [mm] ax^{2}+bx+c [/mm] = 0 | /a
[mm] \underbrace{x^2}_{=a^{2}}+\underbrace{\bruch{b}{a}x}_{=2*a*b}+\bruch{c}{a}
[/mm]
Es folgt für a=x und für 2*b = [mm] \bruch{b}{a} \Rightarrow b=\bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{x^2}_{=a^{2}}+\underbrace{\bruch{b}{a}x}_{=2*a*b}+ \underbrace{\bruch{b}{2a}^{2}}_{=b^{2}}-\underbrace{\bruch{b}{2a}^{2}}_{=b^{2}}+ \bruch{c}{a} [/mm] = 0
[mm] \gdw (x+\bruch{b}{2a})^{2} -\bruch{b}{2a}^{2}+\bruch{c}{a} [/mm] =0
[mm] \gdw (x+\bruch{b}{2a})^{2} =\bruch{b}{2a}^{2}-\bruch{c}{a}
[/mm]
[mm] \gdw (x+\bruch{b}{2a}) =\pm\wurzel{\bruch{b}{2a}^{2}+\bruch{c}{a}}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{b}{2a}^{2}+\bruch{c}{a}}-\bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{b}^{2}{4a}+\bruch{4c}{4a}}-\bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{b^{2}+4c}{4a}}-\bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{b^{2}+4c}}{2a}-\bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{b^{2}+4c}-b}{2a}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 02.03.2008 | | Autor: | mathee |
dann hat man ja bei der einen variánte keine lösng raus und bei der anderen eine das geht dochnich .
ein freund von mir meinte maaaan müsste das erst als eine gleichung ausrechnen und dann aus der löungsmmmenge in linearfaktoren unterteilen und dann das ausrechnen.
also wenn man 3 und 5 hätte als lösungsmenge (x-3)(x-5)<0 und dann aurechnen..
jetz komm ich ganz durcheinander?!
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Hey!
> dann hat man ja bei der einen variánte keine lösng raus und
> bei der anderen eine das geht dochnich .
>
> ein freund von mir meinte maaaan müsste das erst als eine
> gleichung ausrechnen und dann aus der löungsmmmenge in
> linearfaktoren unterteilen und dann das ausrechnen.
>
> also wenn man 3 und 5 hätte als lösungsmenge (x-3)(x-5)<0
> und dann aurechnen..
>
Die Variante von deinem Freund ist wohl die eleganteste. Denn jetzt hast du ja ein Produkt und ein Produkt ist genau dann negativ, wenn genau einer der Faktoren kleiner Null ist.
Bei deinem Bsp erkennt man nun, dass für alle x mit 3<x<5 das Produkt negativ ist.
>
> jetz komm ich ganz durcheinander?!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 02.03.2008 | | Autor: | Buddy |
hallo
also nochmal zusammenfassend:
wenn ich eine quadratische ungleichung habe tausche ich zuerst das größer-kleiner-zeichen gegen ein gleichheitszeichen um.dann berechne ich diese z.b mit der pqformel.am ende hab ich x1 und x2 wenn diese 3 und 5 sind schréibe ich dann (x-3)(x-5)und dann je nachdem die ungleichung war (x-3)(x-5)<0 oda (x-3)(x-5)>0.dann schreib ich auf wenn ich das erste hätte:
x-3<0 und x-5<0
[mm] L\{x|x<5\}
[/mm]
2.fall: x-3>0 und x-5>0
[mm] L\{x|x>3\}
[/mm]
zusammen: L(x|x>3 oder x<5)
ich hoffe das stimmt so bitte um antwort danke
mfg Buddy
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Hallo
(x-3)(x-5)<0
1. Fall:
x-3<0 und x-5>0 ergibt x<3 und x>5, eine solche Zahl gibt es ja wohl nicht
2. Fall:
x-3>0 und x-5<0 ergibt x>3 und x<5, kurz geschrieben 3<x<5
somit ist L={x [mm] \in \IR; [/mm] 3<x<5}
schön siehst du es, wenn du es als Funktion betrachtest
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 02.03.2008 | | Autor: | Buddy |
wieso??
ich hatte doch x<5 und x>3
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Nein, damit der ganze Term negativ ist, muss ja genau ein Faktor positiv sein und genau ein Faktor negativ sein. Also stimmt es genau was steffi aufgeschrieben hat. Gucke dir das am Besten nochmal in Ruhe an.
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Hallo,
du hast vorhin "oder" geschrieben
x>3 oder x<5, nehme als Beispiel x=20, für 20 trifft zu, sie ist größer 3 oder kleiner 5, aber die 20 erfüllt eben nicht deine Ungleichung,
Steffi
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