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| Aufgabe | Lösen Sie die quadratische Gleichung
[mm] z^2 + (3 - i)z = ( \bruch {3}{2} + 2\wurzel {3})i [/mm]
und geben Sie die Lösung in der Darstellung z= x+iy an.
Hinweis: Rechnen Sie mit rationalen Zahlen und Wurzeln aus ganzen Zahlen unter verwendung folgender Werte:
[mm] sin \bruch {pi}{6}= cos \bruch {pi}{3} = \bruch {1}{2}, sin \bruch {pi}{4} = cos \bruch {pi}{4} = \bruch {\wurzel 2}{2} , sin \bruch {pi}{3} = cos \bruch {pi}{6} = \bruch {\wurzel 3}{2} [/mm] |
Hallo erstmal an alle =)
Ich komme an einer bestimmten Stelle nicht weiter..
habe es als erste auf die Form [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] gebracht und dann ganz normal die pq-formel angewand.
Also:
Z1,Z2 = [mm] [mm] -\bruch{3-2i}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel {(\bruch {3-i}{2})^2 + (\bruch {3}{2} + 2 \wurzel {3})i}
[/mm]
jetzt habe ich weiter vereinfacht bis ich mit Hilfe der Hinweise auf
[mm]Z1,Z2 = -\bruch {3-i}{2} +- \wurzel {2} + \wurzel {4sin \bruch {pi}{3}i [/mm]
Dann habe ich [mm] \wurzel {2} [/mm] umgeformt in [mm] 2sin \bruch{pi}{4} [/mm]
Also steht bei mir nun:
[mm] Z1,Z1 = [mm] -\bruch{3-i}{2} [/mm] +- [mm] 2sin\bruch{pi}{4} [/mm] + [mm] \wurzel{4sin\bruch {pi}{3}}
[/mm]
An dieser Stelle komme ich jedoch nicht mehr weiter.
Wie bekomme ich die Wurzel weg damit ich weiter rechnen kann?
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tut mir leid für die Form-fehler, habe diesen Formeleditor das erste Mal benutzt.
Würd mich über Hilfe freuen. Danke im Vorraus:)
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Hallo Lehrling21,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie die quadratische Gleichung
> [mm]z^2 + (3 - i)z = ( \bruch {3}{2} + 2\wurzel {3})i[/mm]
> und
> geben Sie die Lösung in der Darstellung z= x+iy an.
> Hinweis: Rechnen Sie mit rationalen Zahlen und Wurzeln
> aus ganzen Zahlen unter verwendung folgender Werte:
> [mm]sin \bruch {pi}{6}= cos \bruch {pi}{3} = \bruch {1}{2}, sin \bruch {pi}{4} = cos \bruch {pi}{4} = \bruch {\wurzel 2}{2} , sin \bruch {pi}{3} = cos \bruch {pi}{6} = \bruch {\wurzel 3}{2}[/mm]
>
> Hallo erstmal an alle =)
>
> Ich komme an einer bestimmten Stelle nicht weiter..
> habe es als erste auf die Form [mm]ax^2+bx+c=0[/mm] gebracht und
> dann ganz normal die pq-formel angewand.
>
> Also:
> Z1,Z2 = [mm][mm]-\bruch{3-2i}{2}[/mm] +- [mm]\wurzel {(\bruch {3-i}{2})^2 + (\bruch {3}{2} + 2 \wurzel {3})i}[/mm]
jetzt habe ich weiter vereinfacht bis ich mit Hilfe der Hinweise auf
[mm]Z1,Z2 = -\bruch {3-i}{2} +- \wurzel {2} + \wurzel {4sin \bruch {pi}{3}i[/mm]
Dann habe ich [mm]\wurzel {2}[/mm] umgeformt in [mm]2sin \bruch{pi}{4}[/mm]
Also steht bei mir nun:
>[mm]Z1,Z1 = [mm]-\bruch{3-i}{2}[/mm] +- [mm]2sin\bruch{pi}{4}[/mm] + [mm]\wurzel{4sin\bruch {pi}{3}}[/mm]
> An dieser Stelle komme ich jedoch nicht mehr weiter.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Wie bekomme ich die Wurzel weg damit ich weiter rechnen kann?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. [/mm][/mm]
> [mm][mm]Tut mir leid für die Form-fehler, habe diesen Formeleditor das erste Mal benutzt. [/mm][/mm]
> [mm][mm]Würd mich über Hilfe freuen. Danke im Vorraus:) [/mm][/mm]
Unter der Wurzel steht doch: [mm]2+2*\wurzel{3}*i[/mm]
[mm]\wurzel{2+2*\wurzel{3}*i} \not= \wurzel{2}+\wurzel{4sin \bruch {pi}{3}i }[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 30.10.2011 | | Autor: | Lehrling21 |
Soweit ich das richtig gerechnet habe steht dort:
[mm] \wurzel{2+(2\wurzel {3})i} [/mm]
was ich nun umforme zu [mm]2+2*(2 sin [mm] \bruch{pi}{3})i [/mm] = [mm] \wurzel{2 + 4 sin\bruch{pi}{3}i} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(4sin \bruch {pi}{3})i} [/mm] = 2 [mm] sin\bruch{pi}{4} [/mm] + [mm] \wurzel{(4sin \bruch{pi}{3})i}
[/mm]
wo ich wieder bei meiner Anfangsfrage wäre.
Berichtigt mich bitte wenn ich falsch liege=)
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Hallo Lehrling21,
> Soweit ich das richtig gerechnet habe steht dort:
> [mm]\wurzel{2+(2\wurzel {3})i}[/mm]
> was ich nun umforme zu [mm]2+2*(2 sin [mm]\bruch{pi}{3})i[/mm] = [mm]\wurzel{2 + 4 sin\bruch{pi}{3}i}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{(4sin \bruch {pi}{3})i}[/mm] = 2 [mm]sin\bruch{pi}{4}[/mm] + [mm]\wurzel{(4sin \bruch{pi}{3})i}[/mm]
>wo ich wieder bei meiner Anfangsfrage wäre.
>Berichtigt mich bitte wenn ich falsch liege=)
Nochmal:
[mm]\wurzel{2+(2\wurzel {3})i} \not= \wurzel{2} +\wurzel{(4sin \bruch {pi}{3})i} [/mm]
Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln
aus den einzelnen Summanden.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 30.10.2011 | | Autor: | Lehrling21 |
oh okay... vielleicht sollte ich sowas mal wiederholen..
also steht dort nun :
[mm]Z1,z2 = -\bruch{3-i}{2} +- \wurzel{2+2 \wurzel{3}i[/mm] richtig?
und trd komme ich da jetzt nicht weiter wenn ich die Zahlen nicht runden darf..
Würd mich über einen kleinen Tip an der Stelle freuen.
mfg
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Hallo Lehrling21,
> oh okay... vielleicht sollte ich sowas mal wiederholen..
>
> also steht dort nun :
>
> [mm]Z1,z2 = -\bruch{3-i}{2} +- \wurzel{2+2 \wurzel{3}i[/mm] richtig?
>
Ja.
[mm]z_{1,2} = -\bruch{3-i}{2} \pm \wurzel{2+2 \wurzel{3}i}[/mm]
> und trd komme ich da jetzt nicht weiter wenn ich die Zahlen
> nicht runden darf..
Die Wurzel ist jetzt etwas anders zu schreiben:
[mm]\wurzel{2+2 \wurzel{3}i}=\wurzel{2*\left(\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}}\right)[/mm]
Den Ausdruck in der Klammer kannst Du jetzt mit den Hinweisen verarbeiten.
Für die Wurzel aus einer komplexen Zahl habt ihr sicherlich eine Formel.
> Würd mich über einen kleinen Tip an der Stelle freuen.
> mfg
Und stelle Fragen auch als Fragen, nicht als MItteilungen.
Gruss
MathePower
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