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| Aufgabe | | Man bestimme alle Quadratischen Funktionen f(x)= a+bx+cx2, die die folgendendrei Tangenten besitzt: t1(x)= 1, t2(x)= x, t3(x)= -x. |
ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 07.05.2008 | | Autor: | wauwau |
[mm] f(x)= a+bx+cx^{2}[/mm],
im Punkt [mm] x_{0} [/mm] hat sie die Tangente mit einer Steigung von
[mm] f'(x_{0}) = b+2cx_{0} [/mm]
und sie geht natürlich durch den Punkt [mm] (x{0},f(x_{0}))
[/mm]
somit hat sie die Gleichung
[mm]t(x) = (b+2cx_{0})(x-x_{0}) + f(x_{0})[/mm]
dh. bei deiner ersten Tangente :
[mm]b + 2cx_{1} = 0 [/mm] und [mm]f(x_{1}) = 1[/mm]
bei der zweiten
[mm]b + 2cx_{2} = 1 [/mm] und [mm]f(x_{2}) -x_{2} = 0[/mm]
bei der dritten
[mm]b + 2cx_{3} = -1 [/mm] und [mm]f(x_{2}) +x_{3} = 0[/mm]
und jetzt hast du 6 Gleichungen mit 6 unbekannten [mm] (a,b,c,x_{1},x_{2}, x_{3}) [/mm] die du lösen kannst
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Ja, bis hier hin bin ich auch selber gekommen. Aber wie geht es weiter? Ich habe es leider vergessen, wie das ganze funktioniert.
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Hallo!
Ich würde es anders machen.
Auf der waagerechten Tangente muß zwingend der Scheitelpunkt liegen.
Und dann muß die Parabel symmetrisch zur y-Achse liegen, denn sonst haut das mit den beiden anderen Tangenten niemals hin, und obendrein muß die Parabel nach oben geöffnet sein.
All das kannst du in die Scheitelpunktform [mm] a*(x-s_x)^2+s_y [/mm] einsetzen, und kommst schlußendlich auf [mm] f(x)=ax^2+1
[/mm]
Letztendlich brauchst du zur Lösung jetzt nicht mal die Ableitung, denn f(x)=x führt zu ner quadratischen Gleichung, die nur eine einzige Lösung haben darf - die Diskriminante muß daher =0 sein, was dir direkt die Bedingung für a liefert.
Das ganze ist natürlich sehr geometrie-lastig, aber schnell.
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verstehen tue ich es glaub ich schon, nur wie komme ich jetzt auf a bzw. auf 1/4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 07.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie EH schon gesagt: du schneidest die parabel mit der Geraden y=x. für irgendein a gibts keinen, 2 oder einen Schnittpkt. a so wählen, dass es nur 1 Schnittpkt gibt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 07.05.2008 | | Autor: | wauwau |
Schau dir deine Tangenten genauer an, dann erkennst du, dass die quadratische Funktion eine Parabel symetrisch um die y-Achse mit dem Pol in (0/1) ist
daraus kannst du nun ganz einfach auf die Funktion
[mm]y = 1+\bruch{x^{2}}{4}[/mm] schließen
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