quadratische Abweichungen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 25.10.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm] (x_1 , y_1 ), ... , (x_n ,y_n ) [/mm] Punkte im [mm] \IR^2 [/mm]. Bestimmen Sie die die Gerade [mm] g: y= \alpha x + \beta [/mm], die die Summe der quadratischen vertikalen Abstände der Punke zu der Geraden g minimiert.
D.h. finden Sie [mm]\alpha[/mm] und [mm] \beta[/mm] welche die Gesamtabweichung
[mm] F( \alpha, \beta) = \summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\beta)^2 [/mm] minimiert.
Tipp: Sei zunächste [mm]\alpha[/mm] fest gewählt. Für welches [mm] \beta [/mm] wird die Gesamtabweichung minimal? |
Ich hab Probleme bei der Bestimmung von [mm]\alpha[/mm].
[mm] F( \alpha, \beta) = \summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\beta)^2 [/mm] ist minimal für [mm] F( \alpha, \beta) = 0 [/mm]. D.h. jeder Summand ist Null und da das alles Quadratzahlen sind auch die Wurzel daraus und damit dann auch die Summe daraus. Also:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\beta) = 0 [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} (y_i) -\alpha \summe_{i=1}^{n} (x_i) -n \beta =0[/mm]
[mm]\beta = \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} (y_i) - \alpha \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} (x_i)[/mm]
[mm] \beta = \bar y - \alpha \bar x [/mm]
sieht ja schonmal schön aus...
wenn ich das [mm] \beta[/mm] jetzt einsetzte komm ich auf
[mm]\alpha = \bruch{\summe_{i=1}^{n} (y_i - \bar y)}{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)}[/mm]
kann das stimmen und kann man das noch vereinfachen? und muss ich dann noch [mm]\alpha[/mm] in [mm] \beta [/mm] einsetzten? dann sieht das nämlich garnichtmehr so schön aus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Di 25.10.2011 | | Autor: | weduwe |
versuche es einmal mit den partiellen ableitungen nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm]
damit bekommst du ein lineares gls in den beiden unbekannten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 25.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
> [mm]F( \alpha, \beta) = \summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\beta)^2[/mm]
> ist minimal für [mm]F( \alpha, \beta) = 0 [/mm].
Wieso? Fuer den minimalen Wert kann ja auch [mm]F( \alpha, \beta) >
0[/mm] gelten, was auch der Fall ist.
> D.h. jeder Summand
> ist Null und da das alles Quadratzahlen sind auch die
> Wurzel daraus und damit dann auch die Summe daraus. Also:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\beta) = 0[/mm]
Das ist falsch!
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (y_i) -\alpha \summe_{i=1}^{n} (x_i) -n \beta =0[/mm]
>
> [mm]\beta = \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} (y_i) - \alpha \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} (x_i)[/mm]
>
> [mm]\beta = \bar y - \alpha \bar x[/mm]
>
> sieht ja schonmal schön aus...
Zufaellig richtig, aber die Herleitung nicht.
Setze mal [mm] $z_i=y_i -\alpha x_i$ [/mm] und betrachte [mm]\summe_{i=1}^{n} (z_i -\beta)^2[/mm]. Wie muss [mm] $\beta$ [/mm] gewaehlt werden, damit diese Summe minimal ist? Antwort [mm] $\hat\beta=\bar z=\bar y-\alpha \bar [/mm] x$, was deinem Ergebnis entspricht.
Minimiere nun
[mm] $\summe_{i=1}^{n} (y_i -\alpha x_i -\hat \beta)^2= \summe_{i=1}^{n} ((y_i-\bar [/mm] y) [mm] -\alpha(x_i -\bar x))^2= \summe_{i=1}^{n} (u_i -\alpha v_i)^2$.
[/mm]
bzgl [mm] $\alpha$.
[/mm]
Der von weduwe gewaehlte Weg ist auch gangbar, jedoch wird der Tipp
nicht "verwurstet". Zudem ist der Nachweis der hinreichenden Bedingung fuer ein Minimum tricky.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 26.10.2011 | | Autor: | ella87 |
danke, meinen Fehler hab ich eingesehen.
dank deines Tipps konnte ich auch einen Satz aus der Vorlesung anwenden.
Allerdings hab ich Probleme
[mm]\summe_{i=1}^{n} (u_i - \alpha v_i )^2 [/mm] zu minimieren.
ich dachte ich könnte wieder damit arbeiten, dass die Summe minimal wird, wenn [mm]\alpha v_i = \bar u [/mm] ist.
dann hab ich das arithmetische Mittel von [mm]u_i [/mm] berechnet und das ist logischerweise 0, weil [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(y_i -\bar y )[/mm]. Dann ist aber auch [mm][mm] \alpha [/mm] = 0[mm] und meine Gerade eine konstante mit dem Wert [mm]\bar y[/mm].
Ich bin mir nicht ganz einig, ob ich das logisch finde. Eigentlich geht es ja um die vertikalen Abstände, könnte also Sinn machen...
Stimmt das denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 26.10.2011 | | Autor: | luis52 |
> danke, meinen Fehler hab ich eingesehen.
> dank deines Tipps konnte ich auch einen Satz aus der
> Vorlesung anwenden.
>
> Allerdings hab ich Probleme
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (u_i - \alpha v_i )^2[/mm] zu minimieren.
>
> ich dachte ich könnte wieder damit arbeiten, dass die
> Summe minimal wird, wenn [mm]\alpha v_i = \bar u[/mm] ist.
Das ist nicht korrekt. Betrachte die Funktion [mm]g(\alpha)=\summe_{i=1}^{n} (u_i - \alpha v_i )^2[/mm]. Sie ist differenzierbar ...
vg Luis
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