quadr. Form für Maximum/Minimu < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x,y)=x^2-xy+y^2+3x
[/mm]
Ist der kritische Punkt Maximum, Minimum oder keines von beiden? |
Ich möchte dieses Beispiel mithilfe einer quadratischen Form lösen.
Dafür habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
fx(x,y)=2x-y+3
fy(x,y)=-x+2y
Wenn ich die nun 0 setze komme ich auf den kritischen Punkt (-2,-1).
Nun möchte ich mithilfe einer quadratischen Form herausfinden, ob dieser Punkt Maximum oder Minimum ist.
Wie mache ich das nun? Was muss ich in die Matrix, deren Eigenwerte ich berechnen will, einsetzen? Wie sieht meine quadratische Form aus? Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]f(x,y)=x^2-xy+y^2+3x[/mm]
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> Ist der kritische Punkt Maximum, Minimum oder keines von
> beiden?
> Ich möchte dieses Beispiel mithilfe einer quadratischen
> Form lösen.
>
> Dafür habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
> fx(x,y)=2x-y+3
> fy(x,y)=-x+2y
>
> Wenn ich die nun 0 setze komme ich auf den kritischen Punkt
> (-2,-1).
>
> Nun möchte ich mithilfe einer quadratischen Form
> herausfinden, ob dieser Punkt Maximum oder Minimum ist.
>
> Wie mache ich das nun? Was muss ich in die Matrix, deren
> Eigenwerte ich berechnen will, einsetzen? Wie sieht meine
> quadratische Form aus? Bitte um Hilfe.
Du musst die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix berechnen. In der stehen die zweifachen Ableitungen von $f$ mit dem Punkt $(-2, -1)$ eingesetzt. Diese Matrix ist nun symmetrisch, und die Eigenwerte sagen dir, ob der Punkt ein (echtes) Minimum, (echtes) Maximum oder ein Sattelpunkt ist. (Anstelle die Eigenwerte direkt auszurechnen kannst du auch das Sylvester-Kriterium verwenden und dazu die Hauptminoren ausrechnen. Je nachdem wie ihr das bisher so gemacht habt.)
LG Felix
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Vielen Dank für diese schnelle und gut verständliche Antwort!
Wäre meine Hesse-Matrix hier [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }?
[/mm]
Und wenn ich eine Funktion [mm] \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} [/mm] hätte, wäre die Hesse-Matrix eine 3x3-Matrix, richtig?
Lg Omikron
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Hall Herr_von_Omikron,
> Vielen Dank für diese schnelle und gut verständliche
> Antwort!
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> Wäre meine Hesse-Matrix hier [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }?[/mm]
Ja.
>
> Und wenn ich eine Funktion
> [mm]\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/mm] hätte, wäre die
> Hesse-Matrix eine 3x3-Matrix, richtig?
Das ist richtig.
>
> Lg Omikron
Gruss
MathePower
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Meinen herzlichsten Dank!
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