punktweise konvergent < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 12.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Betrachte [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] x^{n}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1].
Sei [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0,1) \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}
[/mm]
Zeige dass [mm] f_{n} [/mm] punktweise aber nicht gleichmässig gegen f konvergiert für n [mm] \to \infty. [/mm] |
Die Definitonen für punktweise konvergent beziehungsweise gleichmässig konvergent sind mir bekannt.
Muss man hier mit folgender Aussage arbeiten:
[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmässig gegen f [mm] \gdw \parallel f_{n}-f \parallel _{\infty} [/mm] konveriert gegen 0.
Und dann ein Gegenbeispiel dazu finden? Oder wie kann man dies sonst lösen?
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> Betrachte [mm]f_{n}(x)[/mm] := [mm]x^{n},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1].
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> Sei [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0,1) \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}[/mm]
>
> Zeige dass [mm]f_{n}[/mm] punktweise aber nicht gleichmässig gegen f
> konvergiert für n [mm]\to \infty.[/mm]
> Die Definitonen für
> punktweise konvergent beziehungsweise gleichmässig
> konvergent sind mir bekannt.
>
> Muss man hier mit folgender Aussage arbeiten:
>
> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmässig gegen f [mm]\gdw \parallel f_{n}-f \parallel _{\infty}[/mm]
> konveriert gegen 0.
>
> Und dann ein Gegenbeispiel dazu finden? Oder wie kann man
> dies sonst lösen?
Ich sehe zwei Möglichkeiten:
1. Eine gleichmässig konvergente Folge [mm] $f_n$ [/mm] stetiger Funktionen müsste eine stetige Grenzfunktion $f$ haben (wurde dies in der Vorlesung schon bewiesen?). Da bei diesem Beispiel die [mm] $f_n$ [/mm] zwar stetig sind, aber $f$ offenbar in $x=1$ nicht stetig ist, kann somit keine gleichmässige Konvergenz vorliegen.
2. Du zeigst, dass zu einem von Dir gewählten (hinreichend kleinen) [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] kein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] angegeben werden kann, so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm]
[mm]\sup_{x\in [0;1]}|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon[/mm]
gilt. Tipp: Diese stetigen [mm] $f_n$ [/mm] können ja nicht sprunghaft von einem Wert nahe bei $0$ (für [mm] $x\in [/mm] [0;1[$) zu einem Wert nahe bei $1$ (für $x=1$) wechseln (Zwischenwertsatz).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 12.07.2008 | | Autor: | jokerose |
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> 1. Eine gleichmässig konvergente Folge [mm]f_n[/mm] stetiger
> Funktionen müsste eine stetige Grenzfunktion [mm]f[/mm] haben (wurde
> dies in der Vorlesung schon bewiesen?). Da bei diesem
> Beispiel die [mm]f_n[/mm] zwar stetig sind, aber [mm]f[/mm] offenbar in [mm]x=1[/mm]
> nicht stetig ist, kann somit keine gleichmässige Konvergenz
> vorliegen.
>
Ja genau, diesen Satz haben wir bereits bewiesen.
So sieht man auch, dass die Funktion nicht gleichmässig konvergiert. Aber wie kann man denn nun noch zeigen, dass die Funktion punktweise konvergiert?
Ist dies automatisch klar, wenn man gezeigt hat, dass die Funkton nicht gleichmässig konvergiert?
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Huhu jokerose
> Aber wie kann man denn nun noch zeigen, dass
> die Funktion punktweise konvergiert?
Wie wärs mit der Definition?
[mm]\forall\varepsilon\text{ } \forall x\text{ } \exists n_0\text{ } \forall n\ge n_0: |f_n - f| < \varepsilon[/mm]
Betrachte doch mal [mm]|f_n - f|[/mm].
> Ist dies automatisch klar, wenn man gezeigt hat, dass die
> Funkton nicht gleichmässig konvergiert?
Nein, kann ja auch sein, dass sie gar nicht konvergiert.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 12.07.2008 | | Autor: | jokerose |
ok, aber stimmt mein folgender Gedankengang:
Angenommen eine Funktion konvergiert. Man findet heraus, dass die Fuktion aber nicht gleichmässig konvergiert. Kann man daraus dann also folgern, dass die Fuktion punktweise konvergiert? Oder gäbe es noch andere Möglichkeiten von Konvergenz?
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Hiho,
> Angenommen eine Funktion konvergiert. Man findet heraus,
> dass die Fuktion aber nicht gleichmässig konvergiert. Kann
> man daraus dann also folgern, dass die Fuktion punktweise
> konvergiert? Oder gäbe es noch andere Möglichkeiten von
> Konvergenz?
ähm, nein 
Wenn eine Funktion "konvergiert" konvergiert sie per Definition punktweise.
Die "einfache" konvergenz von Funktionen ist die punktweise.
Man kann halt noch überprüfen, ob die Funktionenfolge nebenbei noch gleichmäßig konvergiert.
Dafür solltest du dir klarmachen, was der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz ist.
MfG,
Gono.
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