punktweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (b) [mm] g_n [/mm] := [mm] n*f_n [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR [/mm] konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp: [mm] g_n(\bruch{1}{n}) [/mm] = ?)
Dabei ist [mm] f_n [/mm] die Funktionenfolge aus dem Aufgabenteil (a), [mm] f_n(x)=x(1-x)^n [/mm] |
Hallo,
zur punktweisen Konvergenz habe ich getreu nach Definition versucht ein [mm] N\in\IN [/mm] anzugeben, was von x und [mm] \varepsilon [/mm] abhängt.
Sprich die Ungleichung [mm] \varepsilon>nx(1-x)^n [/mm] nach "n>..." aufzulösen. Ich hab wohl noch nicht genug Kaffe getrunken... jedenfalls gelingt es mir nicht, ohne das ich ein negatives n erhalte. Was tun?
Um die nicht vorhandene gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, sieht man leicht, dass mit x=1/n der Betrag [mm] |g_n(1/n)-g(1/n)|=|(1-1/n)^n| [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] nicht gegen null geht (dabei soll g(x) die Grenzfunktion/Nullfunktion sein). Also bleibt die punktweise Konvergenz zu zeigen..
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (b) [mm]g_n[/mm] := [mm]n*f_n[/mm] : [0, 1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert punktweise,
> aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp:
> [mm]g_n(\bruch{1}{n})[/mm] = ?)
>
> Dabei ist [mm]f_n[/mm] die Funktionenfolge aus dem Aufgabenteil (a),
> [mm]f_n(x)=x(1-x)^n[/mm]
> Hallo,
>
> zur punktweisen Konvergenz habe ich getreu nach Definition
> versucht ein [mm]N\in\IN[/mm] anzugeben, was von x und [mm]\varepsilon[/mm]
> abhängt.
> Sprich die Ungleichung [mm]\varepsilon>nx(1-x)^n[/mm] nach "n>..."
> aufzulösen. Ich hab wohl noch nicht genug Kaffe
> getrunken... jedenfalls gelingt es mir nicht, ohne das ich
> ein negatives n erhalte. Was tun?
>
> Um die nicht vorhandene gleichmäßige Konvergenz zu
> zeigen, sieht man leicht, dass mit x=1/n der Betrag
> [mm]|g_n(1/n)-g(1/n)|=|(1-1/n)^n|[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] nicht gegen
> null geht (dabei soll g(x) die Grenzfunktion/Nullfunktion
> sein).
korrekt! Du kannst aber ruhig konkret sagen, was denn [mm] $\lim_{n \to \infty}g(1/n)$ [/mm] ist! (Es ist [mm] $\lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n=e^x$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] also?)
> Also bleibt die punktweise Konvergenz zu zeigen..
Wo genau hapert's? An den Stellen [mm] $x=1\,$ [/mm] bzw. $x=0$ ist alles klar. Für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist zu zeigen, dass mit $r:=1-x [mm] \in [/mm] (0,1)$ dann [mm] $r^n$ [/mm] so schnell gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt, dass der gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebende Faktor [mm] $n*x\,$ [/mm] "das nicht kompensieren kann".
Nun ja, das sieht man etwa (elementar: d.h. mit allg. bin. Formel) so:
Es ist [mm] $a=a(x):=1/r=1+\epsilon$ [/mm] mit einem [mm] $\epsilon=\epsilon(x) [/mm] >0$ (beachte: für festes [mm] $x\,$ [/mm] ist aber [mm] $\epsilon$ [/mm] fest!) also ist
[mm] $$r^n=\frac{1}{(1+\epsilon)^n}\,,$$
[/mm]
somit hat man insgesamt
$$0 [mm] \le n*x*r^n=\frac{nx}{(1+\epsilon)^n} \le \frac{nx}{\sum_{k=0}^2{n \choose k}\epsilon^k}\,.$$
[/mm]
Damit kommst Du zum Ziel (natürlich kann man das auch noch anders zeigen)!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > (b) [mm]g_n[/mm] := [mm]n*f_n[/mm] : [0, 1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert punktweise,
> > aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp:
> > [mm]g_n(\bruch{1}{n})[/mm] = ?)
> >
> > Dabei ist [mm]f_n[/mm] die Funktionenfolge aus dem Aufgabenteil (a),
> > [mm]f_n(x)=x(1-x)^n[/mm]
> > Hallo,
> >
> > zur punktweisen Konvergenz habe ich getreu nach Definition
> > versucht ein [mm]N\in\IN[/mm] anzugeben, was von x und [mm]\varepsilon[/mm]
> > abhängt.
> > Sprich die Ungleichung [mm]\varepsilon>nx(1-x)^n[/mm] nach "n>..."
> > aufzulösen. Ich hab wohl noch nicht genug Kaffe
> > getrunken... jedenfalls gelingt es mir nicht, ohne das ich
> > ein negatives n erhalte. Was tun?
> >
> > Um die nicht vorhandene gleichmäßige Konvergenz zu
> > zeigen, sieht man leicht, dass mit x=1/n der Betrag
> > [mm]|g_n(1/n)-g(1/n)|=|(1-1/n)^n|[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] nicht gegen
> > null geht (dabei soll g(x) die Grenzfunktion/Nullfunktion
> > sein).
>
> korrekt! Du kannst aber ruhig konkret sagen, was denn
> [mm]\lim_{n \to \infty}g(1/n)[/mm] ist! (Es ist [mm]\lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n=e^x[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR\,,[/mm] also?)
das geht gegen 1/e
> > Also bleibt die punktweise Konvergenz zu zeigen..
>
> Wo genau hapert's? An den Stellen [mm]x=1\,[/mm] bzw. [mm]x=0[/mm] ist alles
> klar. Für [mm]x \in (0,1)[/mm] ist zu zeigen, dass mit [mm]r:=1-x \in (0,1)[/mm]
> dann [mm]r^n[/mm] so schnell gegen [mm]0\,[/mm] strebt, dass der gegen [mm]\infty[/mm]
> strebende Faktor [mm]n*x\,[/mm] "das nicht kompensieren kann".
ja genau, das ist höchst nachvollziehbar. Allerdings habe ich dabei Schwierigkeiten!
> Nun ja, das sieht man etwa (elementar: d.h. mit allg. bin.
> Formel) so:
> Es ist [mm]a=a(x):=1/r=1+\epsilon[/mm] mit einem
> [mm]\epsilon=\epsilon(x) >0[/mm] (beachte: für festes [mm]x\,[/mm] ist aber
> [mm]\epsilon[/mm] fest!) also ist
> [mm]r^n=\frac{1}{(1+\epsilon)^n}\,,[/mm]
> somit hat man insgesamt
> [mm]0 \le n*x*r^n=\frac{nx}{(1+\epsilon)^n} \le \frac{nx}{\sum_{k=0}^2{n \choose k}\epsilon^k}\,.[/mm]
Meinst du [mm] \frac{nx}{\sum_{k=0}^2{2\choose k}\epsilon^k}\ [/mm] ? oder doch eher [mm] \frac{nx}{\sum_{k=0}^n{n \choose k}\epsilon^k}\ [/mm] ?
Zweiteres wäre ja auch nur die Gleichheit zu [mm] \frac{nx}{(1+\epsilon)^n} [/mm] was der Ungleichung nicht unbedingt mehr Sinn gibt oder...
> Damit kommst Du zum Ziel (natürlich kann man das auch noch
> anders zeigen)!
Ok, du scheinst eine andere Methode zu haben, das Epsilon ins Spiel zu bringen. Ich verstehe trotzdem nicht wie man aus deiner Ungleichung eine geeignete natürliche Zahl N bestimmen soll, so dass dann für n>N gilt: [mm] |g_n(x)-g(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] was ich ja zeigen möchte (ich weiß gar nicht ob du mir mit deiner Ungleichung einen Tipp geben möchtest, der eben in diese Richtung gehen soll?!)
Ich brauch noch ein Ruck!
leicht verwirrte Grüße, kulli
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > (b) [mm]g_n[/mm] := [mm]n*f_n[/mm] : [0, 1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert punktweise,
> > > aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp:
> > > [mm]g_n(\bruch{1}{n})[/mm] = ?)
> > >
> > > Dabei ist [mm]f_n[/mm] die Funktionenfolge aus dem Aufgabenteil (a),
> > > [mm]f_n(x)=x(1-x)^n[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > zur punktweisen Konvergenz habe ich getreu nach Definition
> > > versucht ein [mm]N\in\IN[/mm] anzugeben, was von x und [mm]\varepsilon[/mm]
> > > abhängt.
> > > Sprich die Ungleichung [mm]\varepsilon>nx(1-x)^n[/mm] nach "n>..."
> > > aufzulösen. Ich hab wohl noch nicht genug Kaffe
> > > getrunken... jedenfalls gelingt es mir nicht, ohne das ich
> > > ein negatives n erhalte. Was tun?
> > >
> > > Um die nicht vorhandene gleichmäßige Konvergenz zu
> > > zeigen, sieht man leicht, dass mit x=1/n der Betrag
> > > [mm]|g_n(1/n)-g(1/n)|=|(1-1/n)^n|[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] nicht gegen
> > > null geht (dabei soll g(x) die Grenzfunktion/Nullfunktion
> > > sein).
> >
> > korrekt! Du kannst aber ruhig konkret sagen, was denn
> > [mm]\lim_{n \to \infty}g(1/n)[/mm] ist! (Es ist [mm]\lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n=e^x[/mm]
> > für alle [mm]x \in \IR\,,[/mm] also?)
> das geht gegen 1/e
korrekt!
>
> > > Also bleibt die punktweise Konvergenz zu zeigen..
> >
> > Wo genau hapert's? An den Stellen [mm]x=1\,[/mm] bzw. [mm]x=0[/mm] ist alles
> > klar. Für [mm]x \in (0,1)[/mm] ist zu zeigen, dass mit [mm]r:=1-x \in (0,1)[/mm]
> > dann [mm]r^n[/mm] so schnell gegen [mm]0\,[/mm] strebt, dass der gegen [mm]\infty[/mm]
> > strebende Faktor [mm]n*x\,[/mm] "das nicht kompensieren kann".
>
> ja genau, das ist höchst nachvollziehbar. Allerdings habe
> ich dabei Schwierigkeiten!
>
> > Nun ja, das sieht man etwa (elementar: d.h. mit allg. bin.
> > Formel) so:
> > Es ist [mm]a=a(x):=1/r=1+\epsilon[/mm] mit einem
> > [mm]\epsilon=\epsilon(x) >0[/mm] (beachte: für festes [mm]x\,[/mm] ist aber
> > [mm]\epsilon[/mm] fest!) also ist
> > [mm]r^n=\frac{1}{(1+\epsilon)^n}\,,[/mm]
> > somit hat man insgesamt
> > [mm]0 \le n*x*r^n=\frac{nx}{(1+\epsilon)^n} \le \frac{nx}{\sum_{k=0}^2{n \choose k}\epsilon^k}\,.[/mm]
>
> Meinst du [mm]\frac{nx}{\sum_{k=0}^2{2\choose k}\epsilon^k}\[/mm] ?
Ja!
> oder doch eher [mm]\frac{nx}{\sum_{k=0}^n{n \choose k}\epsilon^k}\[/mm]
> ?
> Zweiteres wäre ja auch nur die Gleichheit zu
> [mm]\frac{nx}{(1+\epsilon)^n}[/mm] was der Ungleichung nicht
> unbedingt mehr Sinn gibt oder...
Jein, damit begründet sich doch die Abschätzung:
Der Nenner ist stets $> [mm] 0\,,$ [/mm] wenn ich ihn verkleinere (und dabei $> [mm] 0\,$ [/mm] lasse), wird die so entstehende Zahl eine größere sein. (Auf "deutsch": Für $a,b > [mm] 0\,$ [/mm] gilt: Aus [mm] $b\ge a\,$ [/mm] folgt [mm] $\frac{1}{b} \le \frac{1}{a}\,.$)
[/mm]
> > Damit kommst Du zum Ziel (natürlich kann man das auch noch
> > anders zeigen)!
>
> Ok, du scheinst eine andere Methode zu haben, das Epsilon
> ins Spiel zu bringen. Ich verstehe trotzdem nicht wie man
> aus deiner Ungleichung eine geeignete natürliche Zahl N
> bestimmen soll, so dass dann für n>N gilt: [mm]|g_n(x)-g(x)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] was ich ja zeigen möchte (ich weiß gar nicht
> ob du mir mit deiner Ungleichung einen Tipp geben
> möchtest, der eben in diese Richtung gehen soll?!)
> Ich brauch noch ein Ruck!
Dann nochmal genauer (das folgende gilt für $n [mm] \ge [/mm] 2$):
$$0 [mm] \le \frac{nx}{(1+\epsilon)^n}=\frac{nx}{\sum_{k=0}^n {n \choose k}\epsilon^k} \red{\;\le\;} \frac{nx}{\sum_{k=0}^2 {n \choose k}\epsilon^k}=\frac{nx}{{n \choose 0} \epsilon^0+{n \choose 1}\epsilon^1+{n \choose 2}\epsilon^2} \red{\;\le\;} \frac{nx}{{n \choose 2}\epsilon^2}\,.$$
[/mm]
Was habe ich nun wohl bei beiden [mm] $\red{\;\le\;}$ [/mm] für eine Erkenntnis genutzt?
Und weiter:
Das [mm] $\epsilon$ [/mm] spielt hier keine so wirklich entscheidende Rolle - aber es ist schon wichtig, dass [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig ist.
Und jetzt schreibe Dir mal den Term ganz rechterhand mit der Erkenntnis
$${n [mm] \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}$$
[/mm]
hin.
Und wenn Du magst:
Du kannst auch [mm] $\epsilon$ [/mm] konkret hinschreiben:
Es ist ja [mm] $\epsilon=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}\,.$
[/mm]
(Beachte, dass wir hier nur den Fall $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] noch behandeln!)
Das kann man machen - muss man aber nicht. Denn [mm] $x/\epsilon^2$ [/mm] (beachte: [mm] $\epsilon=\epsilon(x)$ [/mm] ist ja nur von [mm] $x\,$ [/mm] abnhängig!) ist bei bei festem [mm] $x\,$ [/mm] ja eh konstant!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > (b) [mm]g_n[/mm] := [mm]n*f_n[/mm] : [0, 1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert punktweise,
> > > > aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp:
> > > > [mm]g_n(\bruch{1}{n})[/mm] = ?)
> > > >
> > > > Dabei ist [mm]f_n[/mm] die Funktionenfolge aus dem Aufgabenteil (a),
> > > > [mm]f_n(x)=x(1-x)^n[/mm]
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > zur punktweisen Konvergenz habe ich getreu nach Definition
> > > > versucht ein [mm]N\in\IN[/mm] anzugeben, was von x und [mm]\varepsilon[/mm]
> > > > abhängt.
> > > > Sprich die Ungleichung [mm]\varepsilon>nx(1-x)^n[/mm] nach "n>..."
> > > > aufzulösen. Ich hab wohl noch nicht genug Kaffe
> > > > getrunken... jedenfalls gelingt es mir nicht, ohne das ich
> > > > ein negatives n erhalte. Was tun?
> > > >
> > > > Um die nicht vorhandene gleichmäßige Konvergenz zu
> > > > zeigen, sieht man leicht, dass mit x=1/n der Betrag
> > > > [mm]|g_n(1/n)-g(1/n)|=|(1-1/n)^n|[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] nicht gegen
> > > > null geht (dabei soll g(x) die Grenzfunktion/Nullfunktion
> > > > sein).
> > >
> > > korrekt! Du kannst aber ruhig konkret sagen, was denn
> > > [mm]\lim_{n \to \infty}g(1/n)[/mm] ist! (Es ist [mm]\lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n=e^x[/mm]
> > > für alle [mm]x \in \IR\,,[/mm] also?)
> > das geht gegen 1/e
>
> korrekt!
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> >
> > > > Also bleibt die punktweise Konvergenz zu zeigen..
> > >
> > > Wo genau hapert's? An den Stellen [mm]x=1\,[/mm] bzw. [mm]x=0[/mm] ist alles
> > > klar. Für [mm]x \in (0,1)[/mm] ist zu zeigen, dass mit [mm]r:=1-x \in (0,1)[/mm]
> > > dann [mm]r^n[/mm] so schnell gegen [mm]0\,[/mm] strebt, dass der gegen [mm]\infty[/mm]
> > > strebende Faktor [mm]n*x\,[/mm] "das nicht kompensieren kann".
> >
> > ja genau, das ist höchst nachvollziehbar. Allerdings habe
> > ich dabei Schwierigkeiten!
> >
> > > Nun ja, das sieht man etwa (elementar: d.h. mit allg. bin.
> > > Formel) so:
> > > Es ist [mm]a=a(x):=1/r=1+\epsilon[/mm] mit einem
> > > [mm]\epsilon=\epsilon(x) >0[/mm] (beachte: für festes [mm]x\,[/mm] ist aber
> > > [mm]\epsilon[/mm] fest!) also ist
> > > [mm]r^n=\frac{1}{(1+\epsilon)^n}\,,[/mm]
> > > somit hat man insgesamt
> > > [mm]0 \le n*x*r^n=\frac{nx}{(1+\epsilon)^n} \le \frac{nx}{\sum_{k=0}^2{n \choose k}\epsilon^k}\,.[/mm]
>
> >
> > Meinst du [mm]\frac{nx}{\sum_{k=0}^2{2\choose k}\epsilon^k}\[/mm] ?
>
> Ja!
>
> > oder doch eher [mm]\frac{nx}{\sum_{k=0}^n{n \choose k}\epsilon^k}\[/mm]
> > ?
> > Zweiteres wäre ja auch nur die Gleichheit zu
> > [mm]\frac{nx}{(1+\epsilon)^n}[/mm] was der Ungleichung nicht
> > unbedingt mehr Sinn gibt oder...
>
> Jein, damit begründet sich doch die Abschätzung:
> Der Nenner ist stets [mm]> 0\,,[/mm] wenn ich ihn verkleinere (und
> dabei [mm]> 0\,[/mm] lasse), wird die so entstehende Zahl eine
> größere sein. (Auf "deutsch": Für [mm]a,b > 0\,[/mm] gilt: Aus
> [mm]b\ge a\,[/mm] folgt [mm]\frac{1}{b} \le \frac{1}{a}\,.[/mm])
>
> > > Damit kommst Du zum Ziel (natürlich kann man das auch noch
> > > anders zeigen)!
> >
> > Ok, du scheinst eine andere Methode zu haben, das Epsilon
> > ins Spiel zu bringen. Ich verstehe trotzdem nicht wie man
> > aus deiner Ungleichung eine geeignete natürliche Zahl N
> > bestimmen soll, so dass dann für n>N gilt: [mm]|g_n(x)-g(x)|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm] was ich ja zeigen möchte (ich weiß gar nicht
> > ob du mir mit deiner Ungleichung einen Tipp geben
> > möchtest, der eben in diese Richtung gehen soll?!)
> > Ich brauch noch ein Ruck!
>
> Dann nochmal genauer (das folgende gilt für [mm]n \ge 2[/mm]):
> [mm]0 \le \frac{nx}{(1+\epsilon)^n}=\frac{nx}{\sum_{k=0}^n {n \choose k}\epsilon^k} \red{\;\le\;} \frac{nx}{\sum_{k=0}^2 {n \choose k}\epsilon^k}=\frac{nx}{{n \choose 0} \epsilon^0+{n \choose 1}\epsilon^1+{n \choose 2}\epsilon^2} \red{\;\le\;} \frac{nx}{{n \choose 2}\epsilon^2}\,.[/mm]
>
> Was habe ich nun wohl bei beiden [mm]\red{\;\le\;}[/mm] für eine
> Erkenntnis genutzt?
Im Prinzip genau die, die du oben erwähnt hast. "Kleinerer Nenner, größere Zahl"
> Und weiter:
> Das [mm]\epsilon[/mm] spielt hier keine so wirklich entscheidende
> Rolle - aber es ist schon wichtig, dass [mm]\epsilon > 0[/mm] und
> von [mm]n\,[/mm] unabhängig ist.
nur noch mal zur Sicherheit: andersrum gilt doch, dass das n von [mm] \epsilon [/mm] abhängig ist oder? Ich mein, das ist ja bei Konvergenz von Folgen oder Funktionen immer so...
> Und jetzt schreibe Dir mal den Term ganz rechterhand mit
> der Erkenntnis
> [mm]{n \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
> hin.
Ok dann habe ich: [mm] \bruch{nx}{\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2}=\bruch{2x}{(n-1)\varepsilon^2}
[/mm]
Wenn ich dann mein lang ersehntes N definiere als [mm] N:=\lceil 1+\bruch{2x}{\varepsilon^3}\rceil [/mm] dann gilt für n>N:
[mm] 0\le n*x*r^n [/mm] < [mm] N*x*r^n \le \bruch{2x}{(1+\bruch{2x}{\varepsilon^3}-1)*\varepsilon^2}=\varepsilon
[/mm]
Das sollte doch jetzt richtig sein oder? Ich habe das N nämlich sonst immer auf etwas anderer Art bestimmt (war da etw festgefahren).
Gruß, kulli
> Und wenn Du magst:
> Du kannst auch [mm]\epsilon[/mm] konkret hinschreiben:
> Es ist ja [mm]\epsilon=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}\,.[/mm]
> (Beachte, dass wir hier nur den Fall [mm]0 < x < 1\,[/mm] noch
> behandeln!)
>
> Das kann man machen - muss man aber nicht. Denn
> [mm]x/\epsilon^2[/mm] (beachte: [mm]\epsilon=\epsilon(x)[/mm] ist ja nur von
> [mm]x\,[/mm] abnhängig!) ist bei bei festem [mm]x\,[/mm] ja eh konstant!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > ...
> > > Ich brauch noch ein Ruck!
> >
> > Dann nochmal genauer (das folgende gilt für [mm]n \ge 2[/mm]):
> >
> [mm]0 \le \frac{nx}{(1+\epsilon)^n}=\frac{nx}{\sum_{k=0}^n {n \choose k}\epsilon^k} \red{\;\le\;} \frac{nx}{\sum_{k=0}^2 {n \choose k}\epsilon^k}=\frac{nx}{{n \choose 0} \epsilon^0+{n \choose 1}\epsilon^1+{n \choose 2}\epsilon^2} \red{\;\le\;} \frac{nx}{{n \choose 2}\epsilon^2}\,.[/mm]
>
> >
> > Was habe ich nun wohl bei beiden [mm]\red{\;\le\;}[/mm] für eine
> > Erkenntnis genutzt?
>
> Im Prinzip genau die, die du oben erwähnt hast. "Kleinerer
> Nenner, größere Zahl"
korrekt!
> > Und weiter:
> > Das [mm]\epsilon[/mm] spielt hier keine so wirklich
> entscheidende
> > Rolle - aber es ist schon wichtig, dass [mm]\epsilon > 0[/mm] und
> > von [mm]n\,[/mm] unabhängig ist.
>
> nur noch mal zur Sicherheit: andersrum gilt doch, dass das
> n von [mm]\epsilon[/mm] abhängig ist oder? Ich mein, das ist ja bei
> Konvergenz von Folgen oder Funktionen immer so...
Wieso von [mm] $n\,$? [/mm] Und beachte: Das [mm] $\epsilon$ [/mm] ist hier nicht dieses aus "Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (beliebig, aber fest) vorgegeben."
Sondern es ist wirklich eine von [mm] $x\,$ [/mm] abhängige Zahl - und wenn [mm] $x\,$ [/mm] einmal festgehalten bleibt, dann auch das [mm] $\epsilon$. [/mm] Du kannst das [mm] $\epsilon$ [/mm] meinetwegen auch anders, etwa [mm] $\tau\,,$ [/mm] nennen...".
Und was Du meinst ist eher das:
Bei punktweiser Konvergenz einer Funktionenfolge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] hat man "zu beliebigen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ an einer Stelle [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereiches dann ein [mm] $\green{N}=\green{N_{x,\varepsilon}}$ [/mm] passend zu finden/anzugeben... (, so dass ...)."
Und dieses [mm] $\green{N}$ [/mm] kann und wird i.a. auch von dem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ abhängen (und ist natürlich nicht eindeutig bestimmt: Man könnte es eindeutig bestimmt definieren, indem man das minimale $N [mm] \in \IN$ [/mm] passend wählt... aber das muss man i.a. nicht und würde nur so manchen Beweis unnötig erschwerden)!
> > Und jetzt schreibe Dir mal den Term ganz rechterhand mit
> > der Erkenntnis
> > [mm]{n \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
> > hin.
>
> Ok dann habe ich:
> [mm]\bruch{nx}{\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2}=\bruch{2x}{(n-1)\varepsilon^2}[/mm]
>
> Wenn ich dann mein lang ersehntes N definiere als [mm]N:=\lceil 1+\bruch{2x}{\varepsilon^3}\rceil[/mm]
Ohoh, Du machst natürlich einen Fehler, den ich mir didaktisch anlasten muss:
Dass [mm] $\epsilon$ [/mm] ist NICHT "ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$" [/mm] Okay, nennen wir das [mm] $\epsilon$ [/mm] nun einfach [mm] $\tau\,,$ [/mm] genauer [mm] $\tau=\tau(x):=\frac{x}{1-x} [/mm] > 0$ (warum das [mm] $\tau$ [/mm] so aussieht: Das hatte ich in der anderen Antwort genauer stehen - hier unten zitierst Du es auch nochmal)!
Erstmal zusammenfassend:
Wir haben gesehen, dass für ein beliebiges, aber festes $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ die Ungleichung
$$0 [mm] \le nx(1-x)^n \le \frac{nx}{{n \choose 2}\tau^2}=\frac{2x}{(n-1)\tau^2}$$ [/mm]
für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt.
Und jetzt kommt das, was Du machen willst:
Wenn nun [mm] $\red{\varepsilon} [/mm] > 0$ beliebig, aber fest vorgegeben ist, dann willst Du ein [mm] $N=N_{x,\red{\varepsilon}} \in \IN$ [/mm] so angeben/finden, dass für alle $n > N$ gilt
[mm] $$|nx(1-x)^n [/mm] | [mm] \le \red{\varepsilon}\,.$$
[/mm]
Und nun kannst Du das auch nochmal richtig machen, oder? (Du hast es vorhin "von der Idee her" eigentlich auch richtig gemacht, nur war das eine [mm] $\epsilon$ [/mm] (das mit dem Quadrat dran!) ein anderes wie das andere.)
(Wie gesagt: Diesen "didaktischen Patzer" nehme ich auf meine Schulter. Dieses [mm] $\red{\varepsilon}$ [/mm] ist nun wirklich "ein beliebiges, festes und $> [mm] 0\,.$" [/mm] Das "alte [mm] $\epsilon$" [/mm] (vorherige Antwort) habe ich nun in [mm] $\tau$ [/mm] umbenannt, damit klar(er) wird, dass das eine ganz andere Bedeutung hat:
Das "alte [mm] $\epsilon\,,$" [/mm] also nun [mm] $\tau=\tau(x)\,,$ [/mm] ist nichts anderes als [mm] $\tau=\tau(x)=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x} [/mm] > 0$ (für beliebiges, aber festes $x [mm] \in [/mm] (0,1)$)).
So bekommst Du nun aber alles hin, oder?
> dann gilt für n>N:
>
> [mm]0\le n*x*r^n[/mm] < [mm]N*x*r^n \le \bruch{2x}{(1+\bruch{2x}{\varepsilon^3}-1)*\varepsilon^2}=\varepsilon[/mm]
>
> Das sollte doch jetzt richtig sein oder?
Leider nein. Zum einen ist das erste [mm] $<\,$ [/mm] schon falsch (es ist doch $n > [mm] N\,,$ [/mm] NICHT $N > [mm] n\,$) [/mm] - zum anderen: Siehe oben ("die Rolle des [mm] $\epsilon$ [/mm] bzw. [mm] $\red{\varepsilon}$")!
[/mm]
> Ich habe das N
> nämlich sonst immer auf etwas anderer Art bestimmt (war da
> etw festgefahren).
Macht nix!
> Gruß, kulli
>
> > Und wenn Du magst:
> > Du kannst auch [mm]\epsilon[/mm] konkret hinschreiben:
> > Es ist ja [mm]\epsilon=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}\,.[/mm]
> > (Beachte, dass wir hier nur den Fall [mm]0 < x < 1\,[/mm] noch
> > behandeln!)
> >
> > Das kann man machen - muss man aber nicht. Denn
> > [mm]x/\epsilon^2[/mm] (beachte: [mm]\epsilon=\epsilon(x)[/mm] ist ja nur von
> > [mm]x\,[/mm] abnhängig!) ist bei bei festem [mm]x\,[/mm] ja eh konstant!
> >
Gruß,
Marcel
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Ich sag ja "festgefahren"  Das Epsilon ist in meinem Kopf leider schon reserviert für "sei [mm] \epsilon>0.." [/mm]
Hätte ich eigentlich sehen müssen, aber jetzt erklärt sich wenigstens meine Verwirrtheit! Den Rest bekomme ich hin. Ich hoffe diese Aufgabe brennt sich tief in mein Gedächtnis ein, diese Vorgehensweise das (1-x) zu "umschreiben" war nämlich wirklich sehr hilfreich, danke nochmal!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Du willst also zeigen, dass die Folge [mm] (n*x*(1-x)^n) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] gegen 0 strebt.
Für x=0 und x=1 ist dies klar. Sei also x [mm] \in(0,1). [/mm] Betrachte die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n*x*(1-x)^n
[/mm]
und zeige (Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium), dass obige Reihe für x [mm] \in(0,1) [/mm] konvergiert.
Dann ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Du willst also zeigen, dass die Folge [mm](n*x*(1-x)^n)[/mm] für
> jedes x [mm]\in[/mm] [0,1] gegen 0 strebt.
>
> Für x=0 und x=1 ist dies klar. Sei also x [mm]\in(0,1).[/mm]
> Betrachte die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n*x*(1-x)^n[/mm]
>
> und zeige (Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium), dass
> obige Reihe für x [mm]\in(0,1)[/mm] konvergiert.
>
> Dann ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge.
witzig: So hatte ich in der Vordiplomsprüfung meinen Prof. verwirrt:
Dass [mm] $(q^n)_n$ [/mm] für $|q| < 1$ gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt, kann man ja eben begründen, weil
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty q^n$$
[/mm]
dann konvergiert.
In der Prüfung meinte mein Prof. dann, dass das aber nur eine Umformulierung der Aufgabe ist (stimmt ja auch erstmal: Denn mit [mm] $\sum_{n=0}^N q^n=(1-q^{N+1})/(1-q)$ [/mm] macht man ja eigentlich nichts anderes).
Aber nach der Prüfung hatte ich ihn dann nochmal drauf angesprochen, man kann nämlich auch so vorgehen:
1.) Wegen [mm] $\sum_{n=0}^N |q^n|=(1-|q|^{N+1})/(1-|q|) \le \frac{1}{1-|q|}$ [/mm] ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] absolut konvergent für jedes $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
2.) Nach dem Trivialkriterium konvergiert damit [mm] $(|q|^n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
3.) Damit auch [mm] $(q^n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
(Natürlich stets im Falle $|q| < [mm] 1\,.$)
[/mm]
Ist mir aber erst wirklich nach der Prüfung so eingefallen, dass man diese Argumente auch hätte bringen können - also: Daher war mein Vorschlag doch nicht wirklich das gleiche!
P.S.
Bei Deiner Variante und dem WK braucht man das Wissen [mm] $\sqrt[n]{n} \to 1\,,$ [/mm] (nicht wirklich notwendig, aber man kann auch benutzen [mm] $\sqrt[n]{x} \to 1)\,.$ [/mm] Das QK scheint mir hier tatsächlich mal günstiger!
Gruß,
Marcel
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Ok, das geht natürlich schneller. Dann kann ich doch folgende Aufgabe auch so lösen:
(c) Sei [mm] h_n: \IR\to\IR [/mm]
[mm] h_n(x)=nxe^{-nx^2}
[/mm]
Dann betrachte ich die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}nxe^{-nx^2}
[/mm]
und bekomme mit dem Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)xe^{nx^2}}{e^{(n+1)x^2}nx}|=...
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{nxe^x^2}+\bruch{1}{ne^x^2}|
[/mm]
=0 für alle x aus [mm] \IR [/mm]
Dann folgt daraus also, dass [mm] h_n [/mm] ebenfalls gegen die Nullfunktion geht.
Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d) weiter:
(d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm] I\subset\IR [/mm] konvergieren die [mm] h_n [/mm] gleichmäßig?
Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser Intervalle angeben, so dass [mm] h_n(x) [/mm] dann jeweils auf diesen Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm] \in\IN [/mm] bestimmen muss, das natürlich von einem beliebigen [mm] \epsilon>0 [/mm] abhängt und von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
Grüße, kulli
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Hallo,
> (c) Sei [mm]h_n: \IR\to\IR[/mm] , [mm]h_n(x)=nxe^{-nx^2}[/mm]
>
> Dann betrachte ich die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}nxe^{-nx^2}[/mm]
Du solltest hier noch $x = 0$ gesondert betrachten, da ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar (der Fall ist aber trivial).
> und bekomme mit dem Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)xe^{nx^2}}{e^{(n+1)x^2}nx}|=...[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{nxe^x^2}+\bruch{1}{ne^x^2}|[/mm]
Diese Umformung stimmt nicht. Ich komme auf:
$= [mm] \frac{n+1}{n} e^{-x^2} \to e^{-x^2}$ [/mm]
Das liefert nur im Falle [mm] $x\not= [/mm] 0$ einen Grenzwert < 1.
> Dann folgt daraus also, dass [mm]h_n[/mm] ebenfalls gegen die
> Nullfunktion geht.
Ja, das bekommt man heraus. (punktweise)
> Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d)
> weiter:
>
> (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm]I\subset\IR[/mm]
> konvergieren die [mm]h_n[/mm] gleichmäßig?
> Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser
> Intervalle angeben, so dass [mm]h_n(x)[/mm] dann jeweils auf diesen
> Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch
> wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm]\in\IN[/mm] bestimmen muss,
> das natürlich von einem beliebigen [mm]\epsilon>0[/mm] abhängt und
> von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem
> brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
Für diese Aufgaben braucht man glaube ich ein bisschen Erfahrung. Du kannst zum Beispiel gucken, ob Sonderfälle bei der Betrachtung der punktweisen Konvergenz aufgetreten sind.
Man sieht an der Funktionenfolge [mm] $h_n$, [/mm] dass der Fall x = 0 besonders war. Stell dir mal vor, der Faktor $x$ bei [mm] $h_n(x) [/mm] = [mm] n*x*e^{-nx^2}$ [/mm] wäre weg, also es wäre nur [mm] $n*e^{-nx^2}$. [/mm] Dann würde im Falle x = 0 keine punktweise Konvergenz vorliegen.
Der Aufgabensteller hat es also nur durch den Faktor $x$ geschafft, punktweise Konvergenz bei $x = 0$ zu erzeugen. So etwas kann ein Indiz dafür sein, dass die gleichmäßige Konvergenz bei $x = 0$ scheitert.
Daher folgende Vermutung: Die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig auf allen Mengen
[mm] $(-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty), \quad\quad \varepsilon [/mm] > 0$
(denn abseits von $x = 0$ sind keine Sonderfälle aufgetreten).
- Beweis der glm. Konvergenz von [mm] $h_n \to [/mm] 0$:
Beginne mit
[mm] $|h_n(x) [/mm] - 0| [mm] \le [/mm] n *|x| * [mm] e^{-n x^2}$
[/mm]
und nutze $|x| [mm] \ge \varepsilon$ [/mm] zweimal aus.
- Es ist dann noch zu zeigen, dass bei $x = 0$ wirklich keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Wie wäre es mit der Folge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] ?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Daher folgende Vermutung: Die Funktionenfolge konvergiert
> gleichmäßig auf allen Mengen
>
> [mm](-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty), \quad\quad \varepsilon > 0[/mm]
dann möchte ich noch ergänzen (was leicht zu beweisen ist):
Wenn dem so ist, dann konvergiert die Funktionenfolge auch glm. auf allen Mengen [mm] $M\,,$ [/mm] für die es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass $M [mm] \subseteq (-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty)\,.$
[/mm]
(Es kann ja sein, dass das hier noch nicht bekannt ist bzw. dass die Überlegung: "Ist [mm] $(f_n)_n$ [/mm] glm. konvergent auf [mm] $X\,,$ [/mm] dann ist [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auch auf jeder Teilmenge von [mm] $X\,$ [/mm] glm. konvergent!"
noch nicht durchgeführt wurde. Diese Überlegung erklärt auch, warum Du "nicht zwei verschiedene [mm] Rand-$\varepsilon$'s" [/mm] benutzen musst!)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
>
>
> > (c) Sei [mm]h_n: \IR\to\IR[/mm] , [mm]h_n(x)=nxe^{-nx^2}[/mm]
> >
> > Dann betrachte ich die Reihe
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}nxe^{-nx^2}[/mm]
>
>
> Du solltest hier noch [mm]x = 0[/mm] gesondert betrachten, da ist
> das Quotientenkriterium nicht anwendbar (der Fall ist aber
> trivial).
>
>
> > und bekomme mit dem Quotientenkriterium:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)xe^{nx^2}}{e^{(n+1)x^2}nx}|=...[/mm]
> >
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{nxe^x^2}+\bruch{1}{ne^x^2}|[/mm]
>
>
> Diese Umformung stimmt nicht. Ich komme auf:
>
> [mm]= \frac{n+1}{n} e^{-x^2} \to e^{-x^2}[/mm]
>
> Das liefert nur im Falle [mm]x\not= 0[/mm] einen Grenzwert < 1.
>
Ohoh, hast Recht.. gut das du es gesehen hast!
>
> > Dann folgt daraus also, dass [mm]h_n[/mm] ebenfalls gegen die
> > Nullfunktion geht.
>
> Ja, das bekommt man heraus. (punktweise)
>
>
>
> > Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d)
> > weiter:
> >
> > (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm]I\subset\IR[/mm]
> > konvergieren die [mm]h_n[/mm] gleichmäßig?
>
>
> > Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser
> > Intervalle angeben, so dass [mm]h_n(x)[/mm] dann jeweils auf diesen
> > Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch
> > wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm]\in\IN[/mm] bestimmen muss,
> > das natürlich von einem beliebigen [mm]\epsilon>0[/mm] abhängt und
> > von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem
> > brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
>
>
> Für diese Aufgaben braucht man glaube ich ein bisschen
> Erfahrung. Du kannst zum Beispiel gucken, ob Sonderfälle
> bei der Betrachtung der punktweisen Konvergenz aufgetreten
> sind.
>
> Man sieht an der Funktionenfolge [mm]h_n[/mm], dass der Fall x = 0
> besonders war. Stell dir mal vor, der Faktor [mm]x[/mm] bei [mm]h_n(x) = n*x*e^{-nx^2}[/mm]
> wäre weg, also es wäre nur [mm]n*e^{-nx^2}[/mm]. Dann würde im
> Falle x = 0 keine punktweise Konvergenz vorliegen.
>
> Der Aufgabensteller hat es also nur durch den Faktor [mm]x[/mm]
> geschafft, punktweise Konvergenz bei [mm]x = 0[/mm] zu erzeugen. So
> etwas kann ein Indiz dafür sein, dass die gleichmäßige
> Konvergenz bei [mm]x = 0[/mm] scheitert.
>
> Daher folgende Vermutung: Die Funktionenfolge konvergiert
> gleichmäßig auf allen Mengen
>
> [mm](-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty), \quad\quad \varepsilon > 0[/mm]
>
> (denn abseits von [mm]x = 0[/mm] sind keine Sonderfälle
> aufgetreten).
klingt einleuchtend!
> - Beweis der glm. Konvergenz von [mm]h_n \to 0[/mm]:
> Beginne mit
>
> [mm]|h_n(x) - 0| \le n *|x| * e^{-n x^2}[/mm]
wieso kleiner gleich? Das ist doch das selbe oder hab ich einen im Tee?
> und nutze [mm]|x| \ge \varepsilon[/mm] zweimal aus.
Das ist aber jetzt das Epsilon, das die Randpunkte in diesen Mengen [mm] (-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty) [/mm] bestimmt und nicht das von "sei [mm] \epsilon>0.." [/mm] oder?
> - Es ist dann noch zu zeigen, dass bei [mm]x = 0[/mm] wirklich keine
> gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Wie wäre es mit der
> Folge [mm]x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] ?
Ja stimmt, mit dieser Folge eingesetzt geht [mm] f_n [/mm] nicht mehr gegen null sondern steil in die andere Richtung. Danke bis hier hin!
Grüße, kulli
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Hallo,
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> >
> > > (c) Sei [mm]h_n: \IR\to\IR[/mm] , [mm]h_n(x)=nxe^{-nx^2}[/mm]
> > >
> > > Dann betrachte ich die Reihe
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}nxe^{-nx^2}[/mm]
> >
> >
> > Du solltest hier noch [mm]x = 0[/mm] gesondert betrachten, da ist
> > das Quotientenkriterium nicht anwendbar (der Fall ist aber
> > trivial).
> >
> >
> > > und bekomme mit dem Quotientenkriterium:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)xe^{nx^2}}{e^{(n+1)x^2}nx}|=...[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{nxe^x^2}+\bruch{1}{ne^x^2}|[/mm]
> >
> >
> > Diese Umformung stimmt nicht. Ich komme auf:
> >
> > [mm]= \frac{n+1}{n} e^{-x^2} \to e^{-x^2}[/mm]
> >
> > Das liefert nur im Falle [mm]x\not= 0[/mm] einen Grenzwert < 1.
> >
> Ohoh, hast Recht.. gut das du es gesehen hast!
> > > Dann folgt daraus also, dass [mm]h_n[/mm] ebenfalls gegen die
> > > Nullfunktion geht.
> >
> > Ja, das bekommt man heraus. (punktweise)
> >
> >
> >
> > > Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d)
> > > weiter:
> > >
> > > (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm]I\subset\IR[/mm]
> > > konvergieren die [mm]h_n[/mm] gleichmäßig?
> >
> >
> > > Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser
> > > Intervalle angeben, so dass [mm]h_n(x)[/mm] dann jeweils auf diesen
> > > Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch
> > > wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm]\in\IN[/mm] bestimmen muss,
> > > das natürlich von einem beliebigen [mm]\epsilon>0[/mm] abhängt und
> > > von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem
> > > brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
> >
> >
> > Für diese Aufgaben braucht man glaube ich ein bisschen
> > Erfahrung. Du kannst zum Beispiel gucken, ob Sonderfälle
> > bei der Betrachtung der punktweisen Konvergenz aufgetreten
> > sind.
> >
> > Man sieht an der Funktionenfolge [mm]h_n[/mm], dass der Fall x = 0
> > besonders war. Stell dir mal vor, der Faktor [mm]x[/mm] bei [mm]h_n(x) = n*x*e^{-nx^2}[/mm]
> > wäre weg, also es wäre nur [mm]n*e^{-nx^2}[/mm]. Dann würde im
> > Falle x = 0 keine punktweise Konvergenz vorliegen.
> >
> > Der Aufgabensteller hat es also nur durch den Faktor [mm]x[/mm]
> > geschafft, punktweise Konvergenz bei [mm]x = 0[/mm] zu erzeugen. So
> > etwas kann ein Indiz dafür sein, dass die gleichmäßige
> > Konvergenz bei [mm]x = 0[/mm] scheitert.
> >
> > Daher folgende Vermutung: Die Funktionenfolge konvergiert
> > gleichmäßig auf allen Mengen
> >
> > [mm](-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty), \quad\quad \varepsilon > 0[/mm]
>
> >
> > (denn abseits von [mm]x = 0[/mm] sind keine Sonderfälle
> > aufgetreten).
>
> klingt einleuchtend!
> > - Beweis der glm. Konvergenz von [mm]h_n \to 0[/mm]:
> > Beginne
> mit
> >
> > [mm]|h_n(x) - 0| \le n *|x| * e^{-n x^2}[/mm]
>
> wieso kleiner gleich? Das ist doch das selbe oder hab ich
> einen im Tee?
Du hast recht. Ist aber kein Fehler, weil [mm] "$\le$" [/mm] ja auch "$=$" beinhaltet
. Ich bin es einfach gewohnt, bei Abschätzungen sofort [mm] "$\le$" [/mm] zu schreiben.
> > und nutze [mm]|x| \ge \varepsilon[/mm] zweimal aus.
> Das ist aber jetzt das Epsilon, das die Randpunkte in
> diesen Mengen [mm](-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, \infty)[/mm]
> bestimmt und nicht das von "sei [mm] \epsilon>0.." [/mm]
> oder?
Genau. Die Definition von gleichmäßiger Konvergenz und das darin vorkommende [mm] $\varepsilon$ [/mm] haben mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] hier nichts zu tun. Du musst im Grunde nicht explizit mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] und dem $N$ nachrechnen, sondern nur zeigen, dass sich
[mm] $|h_n(x) [/mm] - 0|$
nach oben durch eine von $x$ unabhängige (aber von $n$ sollte es abhängen) Folge abschätzen lässt, die gegen 0 geht (Damit wird die Definition ebenfalls nachgerechnet). Das gelingt mit meinem Hinweis von oben.
> > - Es ist dann noch zu zeigen, dass bei <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$x = 0[/mm] wirklich keine
> > gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Wie wäre es mit der
> > Folge [mm]x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] ?
>
> Ja stimmt, mit dieser Folge eingesetzt geht [mm]f_n[/mm] nicht mehr
> gegen null sondern steil in die andere Richtung. Danke bis
> hier hin!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Du musst im Grunde nicht explizit mit
> dem [mm]\varepsilon[/mm] und dem [mm]N[/mm] nachrechnen, sondern nur zeigen,
> dass sich
>
> [mm]|h_n(x) - 0|[/mm]
>
> nach oben durch eine von [mm]x[/mm] unabhängige (aber von [mm]n[/mm] sollte
> es abhängen) Folge abschätzen lässt, die gegen 0 geht
kürzer formuliert: zu zeigen ist [mm] $\|h_n-h\|_\infty \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] - das gelingt natürlich, wenn man [mm] $a_n$ [/mm] so angeben kann, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] (des (betrachteten) Definitionsbereichs)
$$0 [mm] \le |h_n(x)-h(x)| \le a_n$$
[/mm]
mit [mm] $a_n \to [/mm] 0$ angeben kann - insbesondere sollen dabei (fast) alle [mm] $a_n$ [/mm] von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängig sein.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Verbesserung
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Verbesserung
Verbesserung? Ich habe das ganze doch nur in eine "Kurzformulierung" umgeschrieben (ich selber kann mir das ganze halt besser merken "je kürzer es formuliert ist"). Da war doch nichts falsch bei Dir (oder ist mir etwas entgangen)?!
Gruß,
Marcel
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Hallo Stefan, ich habe folgende Abschätzung:
[mm] |\bruch{nx}{e^nx^2}= \bruch{n|x|}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^kx^2k}{k!}}\le\bruch{n|x|}{\bruch{n^2x^4}{2!}}=\bruch{2*n*|x|}{n^2x^4}=\bruch{2n|x|}{n^2|x|^4}\le\bruch{2}{n\epsilon^3}
[/mm]
Ich hoffe da ist jetzt kein Fehler mehr drin. Danke für deine Hilfe!
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Hallo kullinarisch,
> Hallo Stefan, ich habe folgende Abschätzung:
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> [mm]|\bruch{nx}{e^nx^2}= \bruch{n|x|}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^kx^2k}{k!}}\le\bruch{n|x|}{\bruch{n^2x^4}{2!}}=\bruch{2*n*|x|}{n^2x^4}=\bruch{2n|x|}{n^2|x|^4}\le\bruch{2}{n\epsilon^3}[/mm]
Alles wunderbar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und weil [mm] $\frac{2}{n \varepsilon^3} \to [/mm] 0$ [mm] $(n\to\infty)$ [/mm] unabhängig von $x$, konv. [mm] $h_n$ [/mm] glm. gegen die Nullfunktion.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d)
> weiter:
>
> (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm]I\subset\IR[/mm]
> konvergieren die [mm]h_n[/mm] gleichmäßig?
>
> Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser
> Intervalle angeben, so dass [mm]h_n(x)[/mm] dann jeweils auf diesen
> Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch
> wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm]\in\IN[/mm] bestimmen muss,
> das natürlich von einem beliebigen [mm]\epsilon>0[/mm] abhängt und
> von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem
> brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
nur mal nebenbei:
Weißt Du, wie man die glm. Konvergenz einer Funktionenfolge anhand der Graphen der Folgenglieder interpretieren/erkennen kann?
Denn um eine Idee zu bekommen (wenn man so gar keine Ahnung/Idee hat - mit der Zeit ändert sich das durch Erfahrungswerte in der Tat eh!), kann man sich ja erstmal (auf einem genügend großen Intervall - was immer das auch heißen mag) ein paar Graphen einiger Folgeglieder plotten!
(Beachte: Wenn man pktw. Konvergenz hat, dann "ist die pktw. Grenzfunktion auch der einzig mögliche Kandidat für die glm. Grenzfunktion". Ist Dir das klar?)
Ansonsten gibt es natürlich auch noch andere Kriterien, die helfen können:
[mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig (bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] genau dann, wenn [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Oder auch sowas wie das Cauchyfolgenkriterium (bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$) [/mm] für glm. Konvergenz... In einem einigermaßen vernünftigen Analysis-Skript stehen solche Sachen normalerweise auch. (Man muss halt gucken, welches Werkzeug man hat, und "wie gut man bei der Anwendung dieses zum Ziel kommt". Mit Stefans Begründung begründet man indirekt im Prinzip auch, dass [mm] $(\|h-h_n\|_\infty)_n$ [/mm] nicht gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt - wobei [mm] $h\,$ [/mm] hier die pktw. Grenzfunktion ist.)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Aber wie bringt mich das bei der anknüpfenden Aufgabe (d)
> > weiter:
> >
> > (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen [mm]I\subset\IR[/mm]
> > konvergieren die [mm]h_n[/mm] gleichmäßig?
> >
> > Ich muss doch hier irgendwie eine "Bauart" dieser
> > Intervalle angeben, so dass [mm]h_n(x)[/mm] dann jeweils auf diesen
> > Intervallen gleichmäßig konvergiert. Also läuft das doch
> > wieder darauf hinaus, das ich ein N [mm]\in\IN[/mm] bestimmen muss,
> > das natürlich von einem beliebigen [mm]\epsilon>0[/mm] abhängt und
> > von dem jeweiligen Intervall. Ich komme leider zu keinem
> > brauchbaren Ergebnis. Ein kleiner Tipp wäre toll!
>
> nur mal nebenbei:
> Weißt Du, wie man die glm. Konvergenz einer
> Funktionenfolge anhand der Graphen der Folgenglieder
> interpretieren/erkennen kann?
Ich denke schon: Wenn sich die Folgenglieder gleichmäßig als ganzes auf eine Zielfunktion zu bewegen und nicht einzelne Punkte gegen +- [mm] \infty [/mm] oder gegen "isolierte" Punkte streben.
> Denn um eine Idee zu bekommen (wenn man so gar keine
> Ahnung/Idee hat - mit der Zeit ändert sich das durch
> Erfahrungswerte in der Tat eh!), kann man sich ja erstmal
> (auf einem genügend großen Intervall - was immer das auch
> heißen mag) ein paar Graphen einiger Folgeglieder
> plotten!
Das mache ich wohl noch zu selten.. versuch mir dann unnötigerweise die Graphen vorzustellen, bis ich sie dann manchmal doch eingebe.
> (Beachte: Wenn man pktw. Konvergenz hat, dann "ist die
> pktw. Grenzfunktion auch der einzig mögliche Kandidat für
> die glm. Grenzfunktion". Ist Dir das klar?)
Nicht so richtig. Ich kann gerade "gleichmäßig" nicht in Einklang bringen mit einer einzelnen Grenzfunktion. Weil man doch dann nicht mehr von einer Folge spricht, also auch nicht von Konvergenz bzw. glm. Konvergenz?!
> Ansonsten gibt es natürlich auch noch andere Kriterien,
> die helfen können:
> [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig (bei [mm]n \to \infty[/mm]) genau dann,
> wenn [mm]\|f_n-f\|_\infty \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm]
> Oder auch
> sowas wie das Cauchyfolgenkriterium (bzgl. [mm]\|.\|_\infty[/mm])
> für glm. Konvergenz... In einem einigermaßen
> vernünftigen Analysis-Skript stehen solche Sachen
> normalerweise auch. (Man muss halt gucken, welches Werkzeug
> man hat, und "wie gut man bei der Anwendung dieses zum Ziel
> kommt". Mit Stefans Begründung begründet man indirekt im
> Prinzip auch, dass [mm](\|h-h_n\|_\infty)_n[/mm] nicht gegen [mm]0\,[/mm]
> strebt - wobei [mm]h\,[/mm] hier die pktw. Grenzfunktion ist.)
Ja, nur fällt es mir manchmal schwer, das richtige Werkzeug zu benutzen,
bzw. meistens sind ja noch kleine Handgriffe notwendig bevor man den Werkzeugkasten auspacken kann.. Klein aber fein!
Grüße, kulli
> Gruß,
> Marcel
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