punktsymmetrisch, Wendepunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
Hi,
ich bins nochmal. Hab nochmal eine Frage zu einer anderen Aufgabe.
Bestimme den Wendepunkt von [mm]f(x)=3x-\bruch{1}{4}x^3[/mm]
[mm]f'(x)=3-\bruch{3}{4}x^2[/mm]
[mm]f''(x)=-1,5x[/mm]
[mm]f'''(x)=-1,5[/mm]
-1,5x=0
x=0
Dann in die dritte Ableitung einsetzen, um sicher zu gehen das das kein Extrempunkt ist.
0=-1,5
Ist das jetzt ein Extrempunkt? Ja, oder? Für ein Wendepunkt müsste doch 0=0 rauskommen?
Dann steht noch in der Aufgabe: Weise nach, dass das Schaubild punktsymetrisch ist zum Wendepunkt.
Was ist damit gemeint? Oder andersgesagt was meinen die mit punktsymetrisch?
lg. Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Youri |
> Hi,
> ich bins nochmal. Hab nochmal eine Frage zu einer anderen
> Aufgabe.
Hallo Mareike!
>
> Bestimme den Wendepunkt von [mm]f(x)=3x-\bruch{1}{4}x^3[/mm]
> [mm]f'(x)=3-\bruch{3}{4}x^2[/mm]
> [mm]f''(x)=-1,5x[/mm]
> [mm]f'''(x)=-1,5[/mm]
Schonmal wichtig - Ableitungen bestimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt: [mm] f''(x) = 0 [/mm]
Hinreichendes Kriterium: [mm] f'''(x) \neq 0 [/mm]
> -1,5x=0
> x=0
>
> Dann in die dritte Ableitung einsetzen, um sicher zu gehen
> das das kein Extrempunkt ist.
In die dritte Ableitung musst Du das einsetzen, das stimmt.
Die Begründung ist allerdings nicht richtig.
Lies Dir doch mal zum Verständnis von dem Zusammenhang zwischen
Funktion, Ableitung, 2. Ableitung die beiden Artikel durch - schön
anschaulich.
![[]](/images/popup.gif) Kriterium für Wendepunkt
und
Verständnis vom Wendepunkt
> 0=-1,5
>
> Ist das jetzt ein Extrempunkt? Ja, oder? Für ein Wendepunkt
> müsste doch 0=0 rauskommen?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Um die Existenz eines Wendepunkts an der Stelle [mm] x_0 = 0 [/mm] zu bestätigen, muss die dritte Ableitung an der Stelle ungleich Null sein.
Das ist also hier erfüllt.
[mm]f(0)=0[/mm]
Im Punkt W (0;0) befindet sich demnach ein Wendepunkt.
> Dann steht noch in der Aufgabe: Weise nach, dass das
> Schaubild punktsymetrisch ist zum Wendepunkt.
> Was ist damit gemeint? Oder andersgesagt was meinen die
> mit punktsymetrisch?
Damit Du Dir eine Funktion besser vorstellen kannst, brauchst Du einen Gesamteindruck - dazu führt man eine Kurvendiskussion durch.
Zu einer solchen Diskussion gehört das Erstellen eines Graphen - damit
Du aber nicht eine Riesenwertetabelle erstellen musst, ohne den geringsten Schimmer von den Punkten zwischen den zufällig von Dir errechneten zu haben, bestimmst Du in Deiner Kurvendiskussion Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte - und eben auch ein mögliches Symmetrieverhalten.
Relativ leicht zu untersuchen sind Funktionen auf  Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung .
Achsensymmetrie bedeutet:
Wenn Du die von Dir untersuchte Funktion auf ein Blatt zeichnest und dieses genau auf der y-.Achse zusammenfaltest, und dann die beiden "Arme" der Funktion auf einer Linie liegen - dann hast Du eine Achsensymmetrie vorliegen.
Das klassische Beispiel hierfür ist die Normalparabel [mm]f(x) = x^2[/mm].
Rechnerisch muss erfüllt sein -
[mm]f(-x)=f(x)[/mm]
Punktsymmetrisch zum Ursprung ist zum Beispiel die Winkelhalbierende [mm]f(x)=x[/mm].
Anschaulich kannst Du Dir das so vorstellen - wenn Du den positiven Bereich der Funktion (also den Bereich in dem [mm]x>0[/mm] ist, um den Nullpunkt "drehst"... landet er irgendwann genau auf dem Bild der Funktion links von der Y-Achse.
Rechnerisch muss erfüllt sein:
[mm]f(x)=-f(-x)[/mm]
Letzteres musst Du also für die Funktion "beweisen".
Also: allgemein [mm]-x[/mm] in die Funktion [mm]-f(x)[/mm] einsetzen,
[mm]-f(-x)=-(3(-x)-1/4(-x)^3)[/mm]
Wenn die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung/Nullpunkt ist, entspricht dieser Term nach Vereinfachung genau der Ausgangsfunktion [mm]f(x)[/mm].
Und... stimmt's?
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
Mhh, wie soll ich den in y=-1,5,
x einsetzen?
Also muss ich das auch zeichnen und dafür auch die Extremstellen und Nullpunkte ausrechnen?
lg. Mareike
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Liebe Maraike,
schaue Dir das Schaubild an
Für die Wendestelle gilt:
[mm] f''(x_{w}) [/mm] = 0 und [mm] f'''(x_{w}) \not= [/mm] 0
und 0 [mm] \not= [/mm] 1,5
Schlussfolgerung: es liegt ein Wendepunkt vor W(0|0)
Zur Punktsymmetrie auch Zentralsymmetrie hat schon Youri geschrieben, in der grafischen Darstellung (ROT) sieht man das auch sehr schön, diese Zentralsymmetrie.
Beispiele
der Punkt (2|4) hat zum Punkt (0|0) den gleichen Abstand
wie der Punkt (-2|-4) zu (0|0)
die Nullstelle x=3,5 hat ebenfalls zu (0|0) den gleichen Abstand wie die Nullstelle x = -3,5
und
P(4|-4) zu W(0|0) wie Q(-4|4) zu W(0|0)
Hier wird deutlich, dass sich lediglich die beiden Vorzeichen ändern ...
Oder Du nimmst einen Zirkel, die entsprechenden Punkt liegen zu W(0|0) auf einer Kreisbahn und auf dem Durchmesser...
Einen schönen Sonntag noch
Lieschen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 So 14.11.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo nochmal, Mareike -
jetzt hab ich Dich wohl verwirrt...
> Mhh, wie soll ich den in y=-1,5,
> x einsetzen?
Du brauchst nicht in y=-1.5 einsetzen.
Du willst zeigen, dass Punktsymmetrie zum Nullpunkt vorliegt.
Dazu setzt Du in [mm]f(x)[/mm] ganz allgemein negative Zahlen ein - also [mm]-x[/mm].
Multiplizierst Du das ganze dann mit (-1), so ist das Ergebnis wieder genau die Ausgangsfunktion, wenn Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt.
$ [mm] -f(-x)=-(3(-x)-\bruch{1}{4}(-x)^3) [/mm] $
Hier ist jetzt negatives [mm] x [/mm] in die Funktion eingesetzt - und das "-" vor der ersten Klammer zeigt die Multiplikation mit [mm] -1 [/mm]
Jetzt wollte ich dich nur animieren, mal allein weiterzurechnen -
so weit wie möglich zu vereinfachen.
Also Schritt für Schritt:
$ [mm] -f(-x)=-(3(-x)-\bruch{1}{4}(-x)^3) [/mm] $
[mm] =-(-3x+\bruch{1}{4}x^3)[/mm]
[mm]=3x-\bruch{1}{4}x^3[/mm]
Diese letzte Zeile entspricht genau der Ausgangsfunktion [mm]f(x][/mm].
Also hast Du die Punktsymmetrie gezeigt.
> Also muss ich das auch zeichnen und dafür auch die
> Extremstellen und Nullpunkte ausrechnen?
Nein, das musst Du in dem Moment nicht.
Aber für eine vollständige Kurvendiskussion wäre das erforderlich.
Und damit Du den Graph so schön zeichnen kannst,
wie Lies_chen es Dir vorgemacht hat.
Jetzt aber erstmal - ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Andrea.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Sa 13.11.2004 | | Autor: | lies_chen |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
Danke euch, ich glaub ich hab es jetzt.
Wir müssen das in der Schule eh noch machen mit der punktsymmetrie, unserer Lehrer hat uns zwar die Aufgabe gegeben, sie aber selbst nicht ganz gelesen. Und punktsymmetrie hatten wir noch gar nicht. Und ich hab schon gedacht ich hätte was verpasst.
lg. Mareike
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
