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| Aufgabe | Sei X ein kompakter Hausdorffraum und M [mm] \cong R^{m}e [/mm] (so eine Darstellung existiert immer) ein endlich erzeugter, projektiver Modul über dem Ring R der stetigen, reellwertigen Funktionen von X. (e ist idempotente m x m Matrix über R).
e kann als stetige Abbildung von X in die reellen Matrizen aufgefasst werden und durch die Setzung [mm] V_{x}:= [/mm] im e(x) ist ein Vektorbündel V (disjunkte Vereinigung der [mm] V_{x} [/mm] ) über X definiert. |
Hallo!
Folgende Frage zur oben angegebenen Konstruktion:
Warum ist M isomorph zum R-Modul der Schnitte von V
[mm] \Gamma(V)=\{ \sigma: X \to V | \sigma \circ \pi = id_{X}, \sigma stetig \} [/mm] ?
Einem Element [mm] f=(f_{1},...,f_{m}) [/mm] e [mm] \in [/mm] M kann man wohl einen Schnitt zuordnen:
[mm] \sigma(x):=(f_{1}(x),...,f_{m}(x) [/mm] ) e(x)
aber ich weiß nicht, wie der inverse Morphismus aussehen könnte, jedenfalls bin ich mir nicht sicher, weil das ganze irgendwie nicht schön ist
ich versuch einfach mal nachzurechnen, dass durch oben gemachte Definition von [mm] \sigma [/mm] ein Isomorphismus [mm] R^{m}e [/mm] nach [mm] \Gamma(V) [/mm] definiert ist.
1) R-Linearität: klar
2) Surjektivität:
definiere für einen Schnitt [mm] \sigma f_{i} [/mm] durch die Setzung
[mm] f_{i}(x) [/mm] = [ [mm] (e(x)|V_{x})^{-1}( \sigma(x)) ]_{i}
[/mm]
also das inverse von e(x) (ist er überhaupt invertierbar auf seinem Bild?) angewandt auf das Bild [mm] n\sigma(x) [/mm] und dann die i-te Koordinate davon
dann sollte [mm] (f_{1},...,f_{m})e [/mm] ein Urbild von [mm] \sigma [/mm] sein
3) Injektivität: wenn so nen oben definiertes [mm] \sigma [/mm] trivial ist, dann ist (wenn ich das ganze richtig verstehe) [mm] (f_{1},...,f_{m}) [/mm] im Kern von e(x) für jedes x, dann folgt (hoffentlich), dass [mm] (f_{1},..., e_{m}) [/mm] im Kern von e ist und somit trivial.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 23.08.2012 | | Autor: | Salamence |
Ne Zusatzfrage dazu:
Warum sind die Bilder idempotenter Endomorphismen von [mm] R^{m} [/mm] projektiv?
Ich hab hier fünf verschiedene äquivalente Definitionen von Projektivität (jeder Epimorphismus in M hat einen Schnitt, Hom(M,_) ist exakt, direkter Summand eines freies Moduls,...) und mit keiner krieg ich das gezeigt. -.-
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Do 23.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ne Zusatzfrage dazu:
> Warum sind die Bilder idempotenter Endomorphismen von [mm]R^{m}[/mm]
> projektiv?
> Ich hab hier fünf verschiedene äquivalente Definitionen
> von Projektivität (jeder Epimorphismus in M hat einen
> Schnitt, Hom(M,_) ist exakt, direkter Summand eines freies
> Moduls,...) und mit keiner krieg ich das gezeigt. -.-
Eine der aequivalenten Formulierungen lautet vermutlich: der Modul ist direkter Summand eines freien $R$-Moduls.
In diesem Fall gilt [mm] $R^m [/mm] = [mm] R^m [/mm] e [mm] \oplus R^m [/mm] (1 - e)$, wobei 1 die Einheitsmatrix ist. Damit ist [mm] $R^m [/mm] e$ als direkter Summand des freien Moduls [mm] $R^m$ [/mm] projektiv.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 23.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X ein kompakter Hausdorffraum und M [mm]\cong R^{m}e[/mm] (so
> eine Darstellung existiert immer) ein endlich erzeugter,
> projektiver Modul über dem Ring R der stetigen,
> reellwertigen Funktionen von X. (e ist idempotente m x m
> Matrix über R).
> e kann als stetige Abbildung von X in die reellen Matrizen
> aufgefasst werden und durch die Setzung [mm]V_{x}:=[/mm] im e(x) ist
> ein Vektorbündel V (disjunkte Vereinigung der [mm]V_{x}[/mm] )
> über X definiert.
>
> Folgende Frage zur oben angegebenen Konstruktion:
> Warum ist M isomorph zum R-Modul der Schnitte von V
> [mm]\Gamma(V)=\{ \sigma: X \to V | \sigma \circ \pi = id_{X}, \sigma stetig \}[/mm]
> ?
Eigentlich muesstest du hier erstmal die Topologie auf $V$ kennen.
> Einem Element [mm]f=(f_{1},...,f_{m})[/mm] e [mm]\in[/mm] M kann man wohl
> einen Schnitt zuordnen:
>
> [mm]\sigma(x):=(f_{1}(x),...,f_{m}(x)[/mm] ) e(x)
Genau.
(Eigentlich musst du noch zeigen: [mm] $\sigma \in \Gamma(V)$. [/mm] Das Nachrechnen [mm] $\sigma \circ \pi [/mm] = [mm] id_X$ [/mm] ist klar von der Definition von $V$ und [mm] $\pi$ [/mm] her, aber du musst auch noch zeigen, dass [mm] $\sigma$ [/mm] stetig ist. Und dazu musst du die Topologie von $V$ kennen.)
> aber ich weiß nicht, wie der inverse Morphismus aussehen
> könnte, jedenfalls bin ich mir nicht sicher, weil das
> ganze irgendwie nicht schön ist
>
> ich versuch einfach mal nachzurechnen, dass durch oben
> gemachte Definition von [mm]\sigma[/mm] ein Isomorphismus [mm]R^{m}e[/mm]
> nach [mm]\Gamma(V)[/mm] definiert ist.
> 1) R-Linearität: klar
> 2) Surjektivität:
> definiere für einen Schnitt [mm]\sigma f_{i}[/mm] durch die
> Setzung
> [mm]f_{i}(x)[/mm] = [ [mm](e(x)|V_{x})^{-1}( \sigma(x)) ]_{i}[/mm]
> also das
> inverse von e(x) (ist er überhaupt invertierbar auf seinem
> Bild?)
$e(x)$ ist auf seinem Bild die Identitaet.
> angewandt auf das Bild [mm]n\sigma(x)[/mm] und dann die i-te
> Koordinate davon
> dann sollte [mm](f_{1},...,f_{m})e[/mm] ein Urbild von [mm]\sigma[/mm] sein
Das kann man doch einfach nachrechnen. Ist [mm] $\hat{\sigma} [/mm] := [mm] (f_1, \dots, f_m) [/mm] e$, so gilt [mm] $\hat{\sigma}(x) [/mm] = [mm] (f_1(x), \dots, f_m(x)) [/mm] e(x) = [mm] (e(x)|_{V_x})^{-1}(\sigma(x)) [/mm] e(x) = [mm] id_{V_x}(\sigma(x)) [/mm] e(x) = [mm] \sigma(x) [/mm] e(x)$. Da [mm] $\sigma(x)$ [/mm] im Bild von $e$ liegt, gilt [mm] $\sigma(x) [/mm] e(x) = [mm] \sigma(x)$, [/mm] womit [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \hat{\sigma}$ [/mm] ist.
Die grosse Frage ist nun: ist [mm] $f_i \in [/mm] R$? Oder anders gesagt: ist [mm] $f_i [/mm] : X [mm] \to \IR$ [/mm] stetig?
> 3) Injektivität: wenn so nen oben definiertes [mm]\sigma[/mm]
> trivial ist, dann ist (wenn ich das ganze richtig verstehe)
> [mm](f_{1},...,f_{m})[/mm] im Kern von e(x) für jedes x, dann folgt
> (hoffentlich), dass [mm](f_{1},..., e_{m})[/mm] im Kern von e ist
> und somit trivial.
Es geht einfach. Wenn [mm] $(f_1(x), \dots, f_m(x)) [/mm] e(x) = 0$ ist fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$, so folgt sofort [mm] $(f_1, \dots, f_m) [/mm] e = 0$. (Da [mm] $(f_1(x), \dots, f_m(x)) [/mm] e(x) = [mm] ((f_1, \dots, f_m) [/mm] e)(x)$ ist.)
LG Felix
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> Eigentlich muesstest du hier erstmal die Topologie auf [mm]V[/mm]
> kennen.
Achso, ja, das ist einfach die von X und [mm] \IR^{n} [/mm] geerbte Topologie (als Teilmenge von X [mm] \times \mathbb{R}^{n} [/mm] )
Dann sollte das doch gerade passen, oder?
Ich habe übrigens noch eine weitere Frage zu dem Thema:
Seien V und W zwei VB über X und [mm] \alpha [/mm] ein R-Mopdulhom zwischen den Schnitten [mm] \Gamma(V) [/mm] von V und [mm] \Gamma(W) [/mm] von W. Seien nun [mm] s\in \Gamma(V) [/mm] und x [mm] \in [/mm] X mit s(x)=0.
Warum ist dann auch [mm] (\alpha(s))(x)=0?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 04.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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