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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:09 Mo 18.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, leute!
Ich bin bei dieser Aufgabe irgendwie blank. Ich hoffe, ihr könnt mich einigermaßen aufklären, wie ich diese Aufgabe anpacken könnte.
Aufgabe:
Seien [mm] (A,d_{A}) [/mm] und [mm] (B,d_{B}) [/mm] zwei metrische Räume mit den durch die Metriken induzierten Topologien [mm] T_{A} [/mm] (das soll das griechische Tau sein) und [mm] T_{B}.
[/mm]
Zeige: Die Produktmatrix d auf [mm] A\timesB [/mm] erzeugt die Produkttopologie T.
Mein Problem liegt da, dass ich nicht genau weiß, wie die Produktmetrik und die Pordukttopologie definiert sind.
Könntet ihr mir bitte hier weiterhelfen, und mich aufklären?
Vielen Dank!
VHN
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Grüsse!
Ich nehme mal an, dass Du die "Produktmetrik" und nicht etwa die "Produktmatrix" meinst... aber wie habt ihr sie definiert?
So:
[mm] $d\big( [/mm] (a,b), [mm] (a',b')\big) [/mm] = [mm] d_A(a,a') [/mm] + [mm] d_B(b,b')$
[/mm]
Oder so:
[mm] $\tilde{d}\big( [/mm] (a,b), [mm] (a',b')\big) [/mm] = [mm] \max \{ d_A(a,a'), d_B(b,b') \}$
[/mm]
Topologisch gesehen dürfte das keinen Unterschied machen und beides funktionieren...
Alles was Du zeigen musst ist, dass eine bzgl. der Produkttopologie offene Menge auch in der Produktmetrik offen ist und umgekehrt.
Die Produkttopologie ist dabei folgendermassen definiert:
[mm] $(A,d_A)$ [/mm] und [mm] $(B,d_B)$ [/mm] sind metrische Räume, also gibt es Topologien [mm] $\Tau_A$ [/mm] und [mm] $\Tau_B$ [/mm] - oder anders gesprochen, man weiss, welche Mengen in $A$ und $B$ offene Mengen sind.
Die Produkttopologie [mm] $\Tau$ [/mm] in $A [mm] \times [/mm] B$ ist nun die von Mengen der Form $U [mm] \times [/mm] V$ erzeugte Topologie, wobei $U$ offen in $A$ und $V$ offen in $B$ ist. Also: jede offene Menge in $A [mm] \times [/mm] B$ ist beliebige Vereinigung von endlichen Schnitten von solchen.
Soweit zu den Definitionen. Zum Glück ist die eigentliche Rechnerei nicht so kompliziert: Die Produkttopologie auf $A [mm] \times [/mm] B$ ist die kleinste Topologie, die Mengen der oben genannten Form enthält. Wenn Du zeigen kannst, dass jede Menge dieser Form in der Produktmetrik offen ist, ist die eine Inklusion schonmal geschafft. 
Viel Erfolg!
Lars
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