probleme beim fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo zusammen!
schrecklich aber wahr, ich mal wieder probleme in numerik!
wenn ich eine funktion F(x) gegeben habe durch: [mm] \bruch{1}{2}* e^{\bruch{1}{2}* x }
[/mm]
und nun zeigen soll das F im intervall von [4,5] einen fixpunkt besitzt, bekomm ich Probleme!
Weder scheint F(x) selbstabbildend zu sein, noch erhalte ich ein L das kleiner 1 ist! Ich hab das ganze jedoch mal gezeichnet und demnach müßte zwischen 4 und 5 ein Fixpunkt vorliegen!
ist das INtervall nicht klein genug gewählt?Oder wie sonst kann ich zeigen, das im intervall ein fixpunkt existiert?
gruß an alle
der superkermit
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> eine funktion F(x) gegeben habe durch:
> [mm]\bruch{1}{2}* e^{\bruch{1}{2}* x }[/mm]
>
> und nun zeigen soll das F im intervall von [4,5] einen
> fixpunkt besitzt,
...Oder wie sonst
> kann ich zeigen, das im intervall ein fixpunkt existiert?
Hallo superkermit,
ich glaub', Du bist etwas fixiert vor lauter Fixpunkt. Laß den Banach Banach sein und nimm jetzt mal den Newton. Guck im schlauen Buch bei "Newton-Verfahren".
Du suchst ja ein x mit [mm] F(x)=\bruch{1}{2}* e^{\bruch{1}{2}* x }=x.
[/mm]
Dieses x ist die Nullstelle der Funktion G(x)=F(x)-x.
Dieses G ist zweimal diffbar auf Deinem Intervall. G ist konvex, denn auf [4,5] ist G''(x) [mm] \ge [/mm] 0. Es ist G(4)<0 und G(5)>0.
Also ex. eine Nullstelle.
Man findet sie so: nimm einen Startwert [mm] x_{0} \in [/mm] [4,5] .
[mm] x_{n+1}:=x_{n}- \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})} [/mm] konvergiert gegen die Nullstelle.
Gruß v. Angela
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