primitive n-te Einheitswurzel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Teil in einem Beweis:
Körper K, E = Zerfällungskörper von [mm] $X^n [/mm] - 1$. Da das Polynom separabel ist, ist E/K galoissch.
[mm] \eta_n [/mm] ist primitive n-te Einheitswurzel, d.h. [mm] $ord(\eta_n) [/mm] = n$.
Für [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(E/K)$ hat dann [mm] $\sigma(\eta_n)$ [/mm] ebenfalls die Ordnung $n$. |
Hallo!
Mir geht es um den letzten oben geschriebenen Schritt eines Beweises.
Ich möchte wissen, warum wieder die Ordnung $n$ vorliegen muss.
Beweisversuch:
Wäre die Ordnung von [mm] $\sigma(\eta_n)$ [/mm] geringer als n, gäbe es $k|n$ mit
$1 = [mm] (\sigma(\eta_n))^k [/mm] = [mm] \sigma(\eta_n^k)$
[/mm]
woraus wegen Automorphismuseigenschaft [mm] $eta_n^k [/mm] = 1$ und damit ein Widerspruch folgen würde. (?)
Viele Dank für Eure Hilfe!
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 20.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen Stefan,
> Teil in einem Beweis:
>
> Körper K, E = Zerfällungskörper von [mm]X^n - 1[/mm]. Da das
> Polynom separabel ist, ist E/K galoissch.
> [mm]\eta_n[/mm] ist primitive n-te Einheitswurzel, d.h.
> [mm]ord(\eta_n) = n[/mm].
>
> Für [mm]\sigma \in Gal(E/K)[/mm] hat dann [mm]\sigma(\eta_n)[/mm] ebenfalls
> die Ordnung [mm]n[/mm].
>
>
> Hallo!
>
> Mir geht es um den letzten oben geschriebenen Schritt eines
> Beweises.
> Ich möchte wissen, warum wieder die Ordnung [mm]n[/mm] vorliegen
> muss.
> Beweisversuch:
>
> Wäre die Ordnung von [mm]\sigma(\eta_n)[/mm] geringer als n, gäbe
> es [mm]k|n[/mm] mit
$k < [mm] n\:$ [/mm] oder?
> [mm]1 = (\sigma(\eta_n))^k = \sigma(\eta_n^k)[/mm]
>
> woraus wegen Automorphismuseigenschaft [mm]eta_n^k = 1[/mm] und
> damit ein Widerspruch folgen würde. (?)
Ja, ich denke schon. Oder: [mm] $\eta_n$ [/mm] erzeugt als primitive n-te Einheitswurzel die Gruppe [mm] $U_n$ [/mm] der n-ten Einheitswurzeln. Damit erzeugt [mm] $\eta_n$ [/mm] auch das Bild von [mm] $U_n$ [/mm] unter einem beliebigen Homomorphismus.
Es ist $Gal(E/K) [mm] \cong Aut(U_n)$. [/mm] Damit ist jedes [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(E/K)$ surjektiv, also muss [mm] $\sigma(\eta_n)$ [/mm] als Erzeuger des Bildes von [mm] $U_n$ [/mm] unter [mm] $\sigma$, [/mm] wieder [mm] $U_n$ [/mm] erzeugen, also Ordnung n haben.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 So 20.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen
Erstmal allgemein: damit [mm] $X^n [/mm] - 1$ separabel ist, muss $n$ teilerfremd zur Charakteristik von $K$ sein.
> > Wäre die Ordnung von [mm]\sigma(\eta_n)[/mm] geringer als n, gäbe
> > es [mm]k|n[/mm] mit
>
> [mm]k < n\:[/mm] oder?
Beides 
Allgemein: sind $G, H$ Gruppen und ist [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$ ein Homomorphismus, so gilt:
a) die Ordnung von [mm] $\varphi(g)$ [/mm] ist ein Teiler von der Ordnung von $g$;
b) ist [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv, so ist die Ordnung von [mm] $\varphi(g)$ [/mm] gleich der Ordnung von $g$.
Kann man recht einfach nachrechnen, in etwa so:
> > [mm]1 = (\sigma(\eta_n))^k = \sigma(\eta_n^k)[/mm]
> >
> > woraus wegen Automorphismuseigenschaft [mm]eta_n^k = 1[/mm] und
> > damit ein Widerspruch folgen würde. (?)
Hier ist [mm] $\sigma$ [/mm] injektiv. Der Bezug zu den Gruppen (das was ich schrieb) kommt, wenn man [mm] $\sigma$ [/mm] einschraenkt auf die multiplikativen Gruppen: dann bekommt man einen injektiven Gruppenhomomorphismus (ist sogar ein Isomorphismus) [mm] $\sigma|_{E^\ast} [/mm] : [mm] E^\ast \to E^\ast$.
[/mm]
LG Feix
|
|
|
|
